Determine as potências indicadas usando o teorema de De Moivre.
(b) (1-i)^8

Passo 1

Beleza! A gente precisa calcular usando o Teorema de De Moivre. Esse teorema é muito útil pra trabalhar com potências de números complexos. Pra isso, vamos precisar transformar o número complexo na forma polar, que envolve o módulo e o argumento do número, e depois aplicar o teorema para elevar à potência desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o módulo de . O módulo de um número complexo é dado por .

Passo 3

Agora, vamos achar o argumento (ou ângulo) de . O argumento é o ângulo que o número forma com o eixo real no plano complexo. Usamos a função tangente:
Observe que está no quarto quadrante, então o ângulo é negativo.

Passo 4

Com o módulo e o argumento prontos, podemos escrever na forma polar:

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema de De Moivre, que diz que . Aqui, .

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, :
Agora, o ângulo:
Como e , temos:

Passo 7

Multiplicando tudo:

Resposta

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