Determine as potências indicadas usando o teorema de De Moivre.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza! A gente precisa calcular
usando o Teorema de De Moivre. Esse teorema é muito útil pra trabalhar com potências de números complexos. Pra isso, vamos precisar transformar o número complexo
na forma polar, que envolve o módulo e o argumento do número, e depois aplicar o teorema para elevar à potência desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o módulo de
. O módulo de um número complexo
é dado por
.
Passo 3
Agora, vamos achar o argumento (ou ângulo) de
. O argumento é o ângulo que o número forma com o eixo real no plano complexo. Usamos a função tangente:
Observe que
está no quarto quadrante, então o ângulo é negativo.
Passo 4
Com o módulo e o argumento prontos, podemos escrever
na forma polar:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema de De Moivre, que diz que
. Aqui,
.
Passo 6
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro,
:
Agora, o ângulo:
Como
e
, temos:
Passo 7
Multiplicando tudo: