Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
(f)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto . Isso significa que estamos lidando com números complexos cuja parte real ( ) e parte imaginária ( ) satisfazem a condição . Vamos precisar desenhar esse conjunto no plano complexo e determinar se ele é limitado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser representado no plano como um ponto , onde e . A condição dada é .

Passo 3

Vamos entender o que essa condição representa geometricamente. A equação descreve um losango (ou diamante) no plano . Os pontos onde essa igualdade é satisfeita são as bordas do conjunto .

Passo 4

Para desenhar o losango, encontramos os interceptos nos eixos:
  • Quando , → pontos e .
  • Quando , �� pontos e .

Passo 5

Conectando esses pontos, temos um losango centrado na origem, com vértices em , , e . Todos os pontos dentro e sobre esse losango satisfazem a condição .

Passo 6

Agora, para determinar se o conjunto é limitado, lembramos que um conjunto é limitado se todos os seus pontos estão dentro de uma distância finita de um ponto fixo. No nosso caso, o losango está completamente contido dentro de um círculo de raio centrado na origem, por exemplo. Portanto, é limitado.

Resposta

O conjunto é representado por um losango centrado na origem com vértices em , , e . Além disso, é limitado.

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Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios e quais são limitados.
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Suponha que um barco seja puxado para o cais por uma corda presa à sua proa, situada 6 m abaixo do apoio da corda no cais, conforme a figura abaixo. Suponha ainda que a corda seja puxada com uma velocidade de . Nesse caso, o comprimento da corda entre a proa e o apoio, a distância do barco ao cais e o ângulo entre a corda e a vertical são funções do tempo . Denote por o instante em que .
(b) Calcule a derivada .
Determine a forma polar de e e represente os resultados no plano complexo
(a)
Determine a forma polar de e e represente os resultados no plano complexo
(b)