Determine a forma quadrática Q: V R a partir da forma bilinear simétrica B: V times V R abaixo:
B: R^3 times R^3 R, B((x1, y1, z1),(x2, y2, z2))=-x1 x2+2 x2 y1+2 x1 y2-y1 y2+z1 z2+3 x1 z2+3 x2 z1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma forma bilinear simétrica definida no espaço e queremos descobrir qual é a forma quadrática associada a essa forma bilinear. Basicamente, uma forma quadrática pega um vetor e retorna um número real, e ela está diretamente relacionada à forma bilinear pela relação . Para resolver isso, vamos usar a expressão dada para e substituir os mesmos vetores em ambas as entradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da forma bilinear B((x1, y1, z1), (x2, y2, z2)) = -x1x2 + 2x2y1 + 2x1y2 - y1y2 + z1z2 + 3x1z2 + 3x2z1 que foi dada:
Q(x, y, z) = B( (x, y, z), (x, y, z) )
Como queremos , substituímos por em ambas as entradas:

Passo 3

Vamos substituir na expressão de Q(x, y, z) &= -x cdot x + 2x cdot y + 2x cdot y - y cdot y + z cdot z + 3x cdot z + 3x cdot z &= -x^2 + 2xy + 2xy - y^2 + z^2 + 3xz + 3xz :

Passo 4

Agora, vamos simplificar os termos semelhantes:
Q(x, y, z) &= -x^2 + (2xy + 2xy) - y^2 + z^2 + (3xz + 3xz) &= -x^2 + 4xy - y^2 + z^2 + 6xz

Resposta

A forma quadrática Q(x, y, z) = -x^2 + 4xy - y^2 + z^2 + 6xz associada à forma bilinear é:

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