Determine a forma quadrática a partir da forma bilinear simétrica abaixo:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma forma bilinear simétrica definida no espaço e queremos descobrir qual é a forma quadrática associada a essa forma bilinear. Basicamente, uma forma quadrática pega um vetor e retorna um número real, e ela está diretamente relacionada à forma bilinear pela relação . Para resolver isso, vamos usar a expressão dada para e substituir os mesmos vetores em ambas as entradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da forma bilinear que foi dada:
Como queremos , substituímos por em ambas as entradas:

Passo 3

Vamos substituir na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos simplificar os termos semelhantes:

Resposta

A forma quadrática associada à forma bilinear é:

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(a) Mostre que ;
(b) Conclua de (a) que ;
© Mostre que ;
(d) Procedendo como anteriormente, mostre que as alturas são concorrentes em um ponto (ortocentro do tal que ;
(e) Use o Teorema de Pitágoras nos triângulos e para mostrar que
(f) Conclua a fórmula de Heron para a área do
á
Dados e , mostre que os vetores e são linearmentes dependentes.
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