Com as notações acima, seja a altura de relativa ao vértice . Suponha que os ângulos e não sejam retos.
(a) Mostre que ;
(b) Conclua de (a) que ;
© Mostre que ;
(d) Procedendo como anteriormente, mostre que as alturas são concorrentes em um ponto (ortocentro do tal que ;
(e) Use o Teorema de Pitágoras nos triângulos e para mostrar que
(f) Conclua a fórmula de Heron para a área do
á

Passo 1

Beleza, vamos encarar esse exercício de geometria juntos! O que a gente tem aqui é um triângulo com algumas propriedades específicas sobre suas alturas e ângulos. A matéria envolve vetores, trigonometria e o Teorema de Pitágoras, além de chegar até a famosa fórmula de Heron para calcular a área do triângulo. Vamos precisar entender como trabalhar com vetores, tangentes de ângulos e algumas propriedades básicas de triângulos.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que
Primeiro, vamos entender o que representa. é a altura do triângulo relativa ao vértice , ou seja, a distância perpendicular de até o lado .
Vamos descrever os vetores envolvidos:
  • é o vetor que vai de até o ponto na base .
  • é o vetor de até .
  • é o vetor de até .
Agora, considerando os ângulos e , podemos usar a tangente desses ângulos para relacionar as alturas com os vetores.
A tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Aqui, é o cateto oposto aos ângulos e , enquanto e são os catetos adjacentes.
Portanto:

Passo 3

Parte (b): Concluir que
A partir da parte (a), sabemos que ambas as expressões são iguais a . Logo:
Isso nos leva diretamente à conclusão:

Passo 4

Parte ©: Mostrar que
Vamos manipular a igualdade que obtivemos na parte (b):
Isso implica que as proporções dos vetores em relação aos tangentes são iguais. Podemos reescrever e em termos de e :
Isso nos dá uma expressão para como uma combinação linear dos vetores e , ponderada pelas tangentes dos ângulos e .

Passo 5

Parte (d): Mostrar que as alturas são concorrentes no ortocentro com
Sabemos que as alturas de um triângulo se encontram em um ponto comum chamado ortocentro . A partir da parte ©, já temos uma expressão para uma das alturas.
Para incorporar a altura relativa ao ângulo , adicionamos ao denominador:
Isso mostra que o ortocentro é uma combinação ponderada das posições de , e , com os pesos sendo as tangentes dos ângulos correspondentes.

Passo 6

Parte (e): Usar o Teorema de Pitágoras nos triângulos e para mostrar que
Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos e .
Primeiro, recordemos que no triângulo :
E no triângulo :
Somando essas duas equações:
Sabendo que , e usando a relação da parte (b), podemos expressar e em termos de .
Finalmente, resolvendo as equações, chegamos à expressão:
onde é o semiperímetro do triângulo, dado por .

Passo 7

Parte (f): Concluir a fórmula de Heron para a área do
A partir da expressão obtida na parte (e), podemos relacionar a altura com a área do triângulo.
Sabemos que a área de um triângulo é dada por:
Aqui, a base é o lado e a altura é . Substituindo:
Essa é a famosa Fórmula de Heron, que permite calcular a área de um triângulo conhecendo apenas os comprimentos dos seus lados.

Resposta

A área do triângulo é dada por:
á
onde é o semiperímetro do triângulo.

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.
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.