Beleza, vamos encarar esse exercício de geometria juntos! O que a gente tem aqui é um triângulo com algumas propriedades específicas sobre suas alturas e ângulos. A matéria envolve vetores, trigonometria e o Teorema de Pitágoras, além de chegar até a famosa fórmula de Heron para calcular a área do triângulo. Vamos precisar entender como trabalhar com vetores, tangentes de ângulos e algumas propriedades básicas de triângulos.
Passo 2
Parte (a): Mostrar que
Primeiro, vamos entender o que representa. é a altura do triângulo relativa ao vértice , ou seja, a distância perpendicular de até o lado .
Vamos descrever os vetores envolvidos:
é o vetor que vai de até o ponto na base .
é o vetor de até .
é o vetor de até .
Agora, considerando os ângulos e , podemos usar a tangente desses ângulos para relacionar as alturas com os vetores.
A tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Aqui, é o cateto oposto aos ângulos e , enquanto e são os catetos adjacentes.
Portanto:
Passo 3
Parte (b): Concluir que
A partir da parte (a), sabemos que ambas as expressões são iguais a . Logo: