(2,0 pts) Sejam beta=(1,1),(-1,1) e a matrtiz mudança de base [I]beta^beta1=[cc1 / 2 & 1 / 2 -1 / 2 & 1 / 2].
© Se beta é uma base de um espaço vetorial de dimensão 4 , qual é a matriz de mudança de base [I]beta^beta ? Justifique sua resposta exibindo [I]beta^beta :

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma base beta de um espaço vetorial de dimensão 4, e nos é solicitada a matriz de mudança de base [I]beta^beta. O conteúdo da matéria envolve mudança de base em álgebra linear. Para resolver, precisamos entender o que é uma matriz de mudança de base e como ela se comporta quando a base de partida e a base de chegada são a mesma.

Passo 2

Primeiramente, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Essa matriz transforma as coordenadas de um vetor em relação a uma base beta para as coordenadas em relação a outra base beta1. A notação [I]beta^beta1 representa justamente isso: a matriz que muda as coordenadas de beta para beta1.

Passo 3

Agora, se queremos mudar a base beta para ela mesma, ou seja, beta para beta, estamos essencialmente perguntando: qual a matriz que transforma as coordenadas de um vetor em relação a beta para as coordenadas em relação à mesma base beta?

Passo 4

Quando a base de partida e a base de chegada são iguais, a transformação não altera as coordenadas do vetor. Isso significa que cada vetor é representado de maneira idêntica em ambas as bases. Portanto, a matriz de mudança de base [I]beta^beta deve ser a matriz identidade.

Passo 5

A matriz identidade é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0. Ela serve como a “identidade” na multiplicação de matrizes, ou seja, multiplicar qualquer matriz pela identidade resulta na própria matriz.

Resposta

A matriz de mudança de base [I]beta^beta é a matriz identidade 4 times 4, ou seja:
[I]beta^beta = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1

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