(2,0 pts) Sejam
e a matrtiz mudança de base
.
© Se
é uma base de um espaço vetorial de dimensão 4 , qual é a matriz de mudança de base
? Justifique sua resposta exibindo
:
© Se
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma base
de um espaço vetorial de dimensão 4, e nos é solicitada a matriz de mudança de base
. O conteúdo da matéria envolve mudança de base em álgebra linear. Para resolver, precisamos entender o que é uma matriz de mudança de base e como ela se comporta quando a base de partida e a base de chegada são a mesma.
Passo 2
Primeiramente, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Essa matriz transforma as coordenadas de um vetor em relação a uma base
para as coordenadas em relação a outra base
. A notação
representa justamente isso: a matriz que muda as coordenadas de
para
.
Passo 3
Agora, se queremos mudar a base
para ela mesma, ou seja,
para
, estamos essencialmente perguntando: qual a matriz que transforma as coordenadas de um vetor em relação a
para as coordenadas em relação à mesma base
?
Passo 4
Quando a base de partida e a base de chegada são iguais, a transformação não altera as coordenadas do vetor. Isso significa que cada vetor é representado de maneira idêntica em ambas as bases. Portanto, a matriz de mudança de base
deve ser a matriz identidade.
Passo 5
A matriz identidade é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0. Ela serve como a “identidade” na multiplicação de matrizes, ou seja, multiplicar qualquer matriz pela identidade resulta na própria matriz.
Resposta
A matriz de mudança de base
é a matriz identidade
, ou seja: