Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma base de um espaço vetorial de dimensão 4, e nos é solicitada a matriz de mudança de base . O conteúdo da matéria envolve mudança de base em álgebra linear. Para resolver, precisamos entender o que é uma matriz de mudança de base e como ela se comporta quando a base de partida e a base de chegada são a mesma.
Passo 2
Primeiramente, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Essa matriz transforma as coordenadas de um vetor em relação a uma base para as coordenadas em relação a outra base . A notação representa justamente isso: a matriz que muda as coordenadas de para .
Passo 3
Agora, se queremos mudar a base para ela mesma, ou seja, para , estamos essencialmente perguntando: qual a matriz que transforma as coordenadas de um vetor em relação a para as coordenadas em relação à mesma base ?
Passo 4
Quando a base de partida e a base de chegada são iguais, a transformação não altera as coordenadas do vetor. Isso significa que cada vetor é representado de maneira idêntica em ambas as bases. Portanto, a matriz de mudança de base deve ser a matriz identidade.
Passo 5
A matriz identidade é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0. Ela serve como a “identidade” na multiplicação de matrizes, ou seja, multiplicar qualquer matriz pela identidade resulta na própria matriz.
Resposta
A matriz de mudança de base é a matriz identidade , ou seja: