(2,0 pts) Sejam e a matrtiz mudança de base .
© Se é uma base de um espaço vetorial de dimensão 4 , qual é a matriz de mudança de base ? Justifique sua resposta exibindo :

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma base de um espaço vetorial de dimensão 4, e nos é solicitada a matriz de mudança de base . O conteúdo da matéria envolve mudança de base em álgebra linear. Para resolver, precisamos entender o que é uma matriz de mudança de base e como ela se comporta quando a base de partida e a base de chegada são a mesma.

Passo 2

Primeiramente, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Essa matriz transforma as coordenadas de um vetor em relação a uma base para as coordenadas em relação a outra base . A notação representa justamente isso: a matriz que muda as coordenadas de para .

Passo 3

Agora, se queremos mudar a base para ela mesma, ou seja, para , estamos essencialmente perguntando: qual a matriz que transforma as coordenadas de um vetor em relação a para as coordenadas em relação à mesma base ?

Passo 4

Quando a base de partida e a base de chegada são iguais, a transformação não altera as coordenadas do vetor. Isso significa que cada vetor é representado de maneira idêntica em ambas as bases. Portanto, a matriz de mudança de base deve ser a matriz identidade.

Passo 5

A matriz identidade é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0. Ela serve como a “identidade” na multiplicação de matrizes, ou seja, multiplicar qualquer matriz pela identidade resulta na própria matriz.

Resposta

A matriz de mudança de base é a matriz identidade , ou seja:

Exercícios relacionados

Com as notações acima, seja a altura de relativa ao vértice . Suponha que os ângulos e não sejam retos.
(a) Mostre que ;
(b) Conclua de (a) que ;
© Mostre que ;
(d) Procedendo como anteriormente, mostre que as alturas são concorrentes em um ponto (ortocentro do tal que ;
(e) Use o Teorema de Pitágoras nos triângulos e para mostrar que
(f) Conclua a fórmula de Heron para a área do
á
Encontre a forma bilinear tal que , onde é a base:
.
Determine a forma quadrática a partir da forma bilinear simétrica abaixo:
.
Dados e , mostre que os vetores e são linearmentes dependentes.