Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de equação diferencial de primeiro grau com uma condição inicial. A equação que a gente precisa resolver é:
E a condição inicial é . Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada Equação de Bernoulli, que é útil quando a equação tem um termo com .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que fique parecendo mais com a forma padrão da Equação de Bernoulli:
Aqui, identificamos que e , e o expoente de é .

Passo 3

Para resolver, fazemos uma substituição inteligente. Vamos definir:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Substituindo da equação original:
Como , podemos substituir de volta:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial linear em . Para resolver, usamos o fator integrante, que é calculado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Então, isolando :

Passo 5

Lembrando que , então:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Transforme a equação em uma equação exata e, em seguida, resolva-a.
Resolva as equações diferenciais, onde e são funções conhecidas:
Determine a forma da solução particular para , onde é:
Determine a forma da solução particular para , onde é: