Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de equação diferencial de primeiro grau com uma condição inicial. A equação que a gente precisa resolver é:
E a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada Equação de Bernoulli, que é útil quando a equação tem um termo com
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que fique parecendo mais com a forma padrão da Equação de Bernoulli:
Aqui, identificamos que
e
, e o expoente de
é
.
Passo 3
Para resolver, fazemos uma substituição inteligente. Vamos definir:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Substituindo
da equação original:
Como
, podemos substituir de volta:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial linear em
. Para resolver, usamos o fator integrante, que é calculado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então, isolando
:
Passo 5
Lembrando que
, então:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: