Determine uma fórmula para integral duplaS F cdot d S semelhante à Fórmula 10 para o caso onde S é dada por x=k(y, z) e n é o vetor normal unitário que aponta para a frente (ou seja, para o observador, quando os eixos estão desenhados na posição usual).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma fórmula para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, onde a superfície S é definida por x = k(y, z). Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente de integrais de superfície e vetores normais. Para isso, vamos precisar parametrizar a superfície e encontrar o vetor normal unitário que aponta para a frente.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície S. Como x é uma função de y e z, podemos usar y e z como parâmetros. Então, podemos escrever:
r(y, z) = (k(y, z), y, z)
Aqui, r(y, z) é o vetor posição que descreve cada ponto da superfície em termos de y e z.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dois vetores tangentes à superfície. Isso fazemos derivando r(y, z) em relação a y e a z:
ry = partial rpartial y = (partial kpartial y, 1, 0)
rz = partial rpartial z = (partial kpartial z, 0, 1)

Passo 4

Com esses vetores tangentes, podemos encontrar o vetor normal à superfície fazendo o produto vetorial deles:
n = ry times rz = i & j & k partial kpartial y & 1 & 0 partial kpartial z & 0 & 1 = (1, partial kpartial y, partial kpartial z)
Esse é o vetor normal à superfície. Como queremos que ele seja unitário e aponte para a frente, vamos normalizá-lo:
nunit = n|n| = (1, partial kpartial y, partial kpartial z)raiz1 + (partial kpartial y)^2 + (partial kpartial z)^2

Passo 5

Agora, podemos expressar o elemento de área dS como o vetor normal unitário vezes o elemento de área diferencial dy,dz:
dS = nunit , dy,dz = (1, partial kpartial y, partial kpartial z)raiz1 + (partial kpartial y)^2 + (partial kpartial z)^2 , dy,dz

Passo 6

Finalmente, substituímos tudo na integral de superfície:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(k(y, z), y, z) cdot (1, partial kpartial y, partial kpartial z)raiz1 + (partial kpartial y)^2 + (partial kpartial z)^2 , dy,dz
Onde D é a região no plano y- z sobre a qual a superfície está definida.

Resposta

A fórmula para integral duplaS F cdot d S é:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(k(y, z), y, z) cdot (1, partial kpartial y, partial kpartial z)raiz1 + (partial kpartial y)^2 + (partial kpartial z)^2 , dy,dz

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