Determine uma fórmula para semelhante à Fórmula 10 para o caso onde é dada por e é o vetor normal unitário que aponta para a frente (ou seja, para o observador, quando os eixos estão desenhados na posição usual).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma fórmula para calcular a integral de superfície , onde a superfície é definida por . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente de integrais de superfície e vetores normais. Para isso, vamos precisar parametrizar a superfície e encontrar o vetor normal unitário que aponta para a frente.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície . Como é uma função de e , podemos usar e como parâmetros. Então, podemos escrever:
Aqui, é o vetor posição que descreve cada ponto da superfície em termos de e .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar dois vetores tangentes à superfície. Isso fazemos derivando em relação a e a :
Passo 4
Com esses vetores tangentes, podemos encontrar o vetor normal à superfície fazendo o produto vetorial deles:
Esse é o vetor normal à superfície. Como queremos que ele seja unitário e aponte para a frente, vamos normalizá-lo:
Passo 5
Agora, podemos expressar o elemento de área como o vetor normal unitário vezes o elemento de área diferencial :
Passo 6
Finalmente, substituímos tudo na integral de superfície:
Onde é a região no plano - sobre a qual a superfície está definida.