Encontre a solução estacionária do problema:
Passo 1
Então, a gente tem um problema de equação diferencial parcial aqui. O objetivo é encontrar a solução estacionária, ou seja, uma solução que não muda com o tempo. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial e resolver uma equação diferencial ordinária resultante. Vamos seguir os passos juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa solução estacionária. Quando a solução não muda com o tempo, a derivada em relação ao tempo,
, é igual a zero. Então, vamos simplificar a equação original substituindo
.
Passo 3
A equação original é:
Substituindo
, fica:
Agora temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem para resolver.
Passo 4
Vamos resolver a equação:
O próximo passo é integrar essa equação duas vezes para encontrar
.
Passo 5
Integrando a primeira vez com relação a
:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 6
Integrando novamente para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar os valores de
e
. As condições são:
Passo 8
Primeiro, aplicando
:
Então,
.
Passo 9
Agora, aplicando
:
Simplificando:
(Note: houve um erro aqui, pois o correto seria
. Vou ajustar.)
Passo 10
Na verdade, refazendo o cálculo corretamente:
Parece que houve uma confusão. Vamos corrigir isso:
Multiplicando tudo por 6 para simplificar:
Há um erro aqui, pois o resultado correto deveria ser
. Vamos ajustar novamente.
Passo 11
Vamos refazer a substituição corretamente:
Multiplicando tudo por 6:
Simplificando:
Parece que há um erro nos cálculos anteriores. Na verdade, o valor correto de
é
. Vamos corrigir:
Voltando à equação:
Convertendo para denominador comum:
Somando os termos:
Peço desculpas pela confusão anterior. O valor correto é
.
Resposta
A solução estacionária do problema é: