Encontre a solução estacionária do problema:

Passo 1

Então, a gente tem um problema de equação diferencial parcial aqui. O objetivo é encontrar a solução estacionária, ou seja, uma solução que não muda com o tempo. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial e resolver uma equação diferencial ordinária resultante. Vamos seguir os passos juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa solução estacionária. Quando a solução não muda com o tempo, a derivada em relação ao tempo, , é igual a zero. Então, vamos simplificar a equação original substituindo .

Passo 3

A equação original é:
Substituindo , fica:
Agora temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem para resolver.

Passo 4

Vamos resolver a equação:
O próximo passo é integrar essa equação duas vezes para encontrar .

Passo 5

Integrando a primeira vez com relação a :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 6

Integrando novamente para encontrar :
Onde é outra constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar os valores de e . As condições são:

Passo 8

Primeiro, aplicando :
Então, .

Passo 9

Agora, aplicando :
Simplificando:
(Note: houve um erro aqui, pois o correto seria . Vou ajustar.)

Passo 10

Na verdade, refazendo o cálculo corretamente:
Parece que houve uma confusão. Vamos corrigir isso:
Multiplicando tudo por 6 para simplificar:
Há um erro aqui, pois o resultado correto deveria ser . Vamos ajustar novamente.

Passo 11

Vamos refazer a substituição corretamente:
Multiplicando tudo por 6:
Simplificando:
Parece que há um erro nos cálculos anteriores. Na verdade, o valor correto de é . Vamos corrigir:
Voltando à equação:
Convertendo para denominador comum:
Somando os termos:
Peço desculpas pela confusão anterior. O valor correto é .

Resposta

A solução estacionária do problema é:

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a) Encortre a tosca instontannea de vorisereo do Valume em relociso à geratriz se o diametro i montido Constonte com Valor de , enquento a gerotriz
SVoria. celcule ussa tosea de vorioceo no instants em que .