Sabendo-se que saao soluçöes do seguinte problema
resolva o problema abaixo

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Temos uma equação diferencial parcial (EDP) do tipo Laplace e algumas condições de contorno. A ideia é encontrar a função que resolve essa equação dentro de um retângulo definido por de 0 a e de 0 a . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e expandir a solução em uma série de senos.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a EDP dada é:
Essa é a famosa equação de Laplace, que aparece em vários contextos físicos, como em problemas de estática eletrostática ou de distribuição de temperatura.

Passo 3

Vamos assumir que a solução pode ser escrita como um produto de funções que dependem apenas de e de :
Substituindo na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos leva a separar as variáveis:
Onde é uma constante de separação.

Passo 4

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :
Considerando que as condições de contorno em são e , buscamos soluções de que sejam senos, pois senos naturalmente satisfazem essas condições nos pontos extremos.
Então, assumimos:
Onde . O fator ajusta a frequência para que as condições de contorno sejam atendidas.

Passo 5

Com as soluções para , resolvemos para considerando que a solução geral para uma equação homogênea com coeficientes constantes é uma combinação de funções hiperbólicas:
Como a condição implica que , concluímos que . Assim, a solução reduz para:

Resposta

A solução do problema é dada por:

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Encontre a solução estacionária do problema:
Determine uma fórmula para semelhante à Fórmula 10 para o caso onde é dada por e é o vetor normal unitário que aponta para a frente (ou seja, para o observador, quando os eixos estão desenhados na posição usual).
O valume de um cone linculor údrado por , onde Sí o cemprimento da bose.
a) Encortre a tosca instontannea de vorisereo do Valume em relociso à geratriz se o diametro i montido Constonte com Valor de , enquento a gerotriz
SVoria. celcule ussa tosea de vorioceo no instants em que .
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