Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Temos uma equação diferencial parcial (EDP) do tipo Laplace e algumas condições de contorno. A ideia é encontrar a função que resolve essa equação dentro de um retângulo definido por de 0 a e de 0 a . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e expandir a solução em uma série de senos.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a EDP dada é:
Essa é a famosa equação de Laplace, que aparece em vários contextos físicos, como em problemas de estática eletrostática ou de distribuição de temperatura.
Passo 3
Vamos assumir que a solução pode ser escrita como um produto de funções que dependem apenas de e de :
Substituindo na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos leva a separar as variáveis:
Onde é uma constante de separação.
Passo 4
Agora, temos duas equações ordinárias:
Para :
Para :
Considerando que as condições de contorno em são e , buscamos soluções de que sejam senos, pois senos naturalmente satisfazem essas condições nos pontos extremos.
Então, assumimos:
Onde . O fator ajusta a frequência para que as condições de contorno sejam atendidas.
Passo 5
Com as soluções para , resolvemos para considerando que a solução geral para uma equação homogênea com coeficientes constantes é uma combinação de funções hiperbólicas:
Como a condição implica que , concluímos que . Assim, a solução reduz para: