l partial^2 u(x, y)partial pi^2+partial^2 u(x, y)partial y^2=0 u(x, 0)=0=u(x, pi / 3) u(0, y)=0, u(pi, y)=-sen(12 y)-5 sen(9 y)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Temos uma equação diferencial parcial (EDP) do tipo Laplace e algumas condições de contorno. A ideia é encontrar a função que resolve essa equação dentro de um retângulo definido por de 0 a e de 0 a . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e expandir a solução em uma série de senos.
Essa é a famosa equação de Laplace, que aparece em vários contextos físicos, como em problemas de estática eletrostática ou de distribuição de temperatura.
Passo 3
Vamos assumir que a solução pode ser escrita como um produto de funções que dependem apenas de u(x, y) = X(x)Y(y) e de X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0 :
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
Substituindo na equação de Laplace:
X''(x)X(x) = -Y''(y)Y(y) = lambda
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos leva a separar as variáveis:
Onde é uma constante de separação.
Passo 4
Agora, temos duas equações ordinárias:
Para X''(x) - lambda X(x) = 0 :
Y''(y) + lambda Y(y) = 0
Para Yn(y) = sin(3n ypi) :
Considerando que as condições de contorno em são e , buscamos soluções de que sejam senos, pois senos naturalmente satisfazem essas condições nos pontos extremos.
Então, assumimos:
Onde . O fator ajusta a frequência para que as condições de contorno sejam atendidas.
Passo 5
Com as soluções para Xn(x) = An sinh(3n xpi) + Bn cosh(3n xpi) , resolvemos para Xn(x) = An sinh(3n xpi) considerando que a solução geral para uma equação homogênea com coeficientes constantes é uma combinação de funções hiperbólicas:
Como a condição implica que , concluímos que . Assim, a solução reduz para: