Determine a fórmula para integral duplaS F cdot d S semelhante à Fórmula 8 para o caso onde S é dada por y=h(x, z) e n é o versor normal que aponta para a esquerda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos uma fórmula para a integral de superfície , algo parecido com a Fórmula 8, mas para o caso em que a superfície é dada por e o vetor normal aponta para a esquerda. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de superfície e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral de superfície mede o fluxo do campo vetorial através da superfície . Para calcular isso, precisamos parametrizar a superfície e encontrar um vetor normal a ela.

Passo 3

Como a superfície é dada por r(x, z) = lang<= x, h(x, z), z rang<= , podemos parametrizá-la usando e como variáveis. Assim, nossos parâmetros são e , e as coordenadas no espaço ficam:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar dois vetores tangentes à superfície, que obtemos derivando rx = partial rpartial x = lang<= 1, hx, 0 rang<= em relação a rz = partial rpartial z = lang<= 0, hz, 1 rang<= e a :
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 5

O próximo passo é encontrar o vetor normal à superfície usando o produto vetorial desses vetores tangentes:
n = rx times rz = i & j & k 1 & hx & 0 0 & hz & 1 = lang<= hx cdot 1 - 0 cdot hz, -(1 cdot 1 - 0 cdot 0), 1 cdot hz - hx cdot 0 rang<= = lang<= hx, -1, hz rang<=

Passo 6

Queremos que o vetor normal aponte para a esquerda. Isso significa que devemos ajustar a direção do vetor normal. Se originalmente , para apontar para a esquerda, usamos .

Passo 7

Agora, a integral de superfície fica:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(x, h(x,z), z) cdot n , dA
Onde é a região no plano .

Passo 8

Substituindo integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(x, h(x,z), z) cdot lang<= -hx, 1, -hz rang<= raizhx^2 + hz^2 + 1 , dx , dz e lembrando que , temos:

Resposta

integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(x, h(x,z), z) cdot lang<= -hx, 1, -hz rang<= raizhx^2 + hz^2 + 1 , dx , dz

Exercícios relacionados

Determine a solução do problema: d^2x/dt^2 - 2dx/dt = 0, x(0) = 0 e x'(0) = 1,
Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando a in R e a > 0.
f(x) = cos^2(a x).
Resolva a equação dot(x) = d x / d t e x'' = d^2x/dt^2: ddot(x) + 5 dot(x) + 6 x = 0,
Encontre a área do triângulo no caso em que:
Dois lados possuem comprimentos 13 e 15 , e a altura referente ao terceiro lado tem comprimento 12 .