Determine a fórmula para semelhante à Fórmula 8 para o caso onde é dada por e é o versor normal que aponta para a esquerda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos uma fórmula para a integral de superfície , algo parecido com a Fórmula 8, mas para o caso em que a superfície é dada por e o vetor normal aponta para a esquerda. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de superfície e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral de superfície mede o fluxo do campo vetorial através da superfície . Para calcular isso, precisamos parametrizar a superfície e encontrar um vetor normal a ela.
Passo 3
Como a superfície é dada por , podemos parametrizá-la usando e como variáveis. Assim, nossos parâmetros são e , e as coordenadas no espaço ficam:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar dois vetores tangentes à superfície, que obtemos derivando em relação a e a :
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Passo 5
O próximo passo é encontrar o vetor normal à superfície usando o produto vetorial desses vetores tangentes:
Passo 6
Queremos que o vetor normal aponte para a esquerda. Isso significa que devemos ajustar a direção do vetor normal. Se originalmente , para apontar para a esquerda, usamos .
Passo 7
Agora, a integral de superfície fica:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(x, h(x,z), z) cdot n , dA
Onde é a região no plano .
Passo 8
Substituindo integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(x, h(x,z), z) cdot lang<= -hx, 1, -hz rang<= raizhx^2 + hz^2 + 1 , dx , dz e lembrando que , temos:
Resposta
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(x, h(x,z), z) cdot lang<= -hx, 1, -hz rang<= raizhx^2 + hz^2 + 1 , dx , dz