Resolva a equação dot(x) = d x / d t e x'' = d^2x/dt^2: ddot(x) + 5 dot(x) + 6 x = 0,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, representa a primeira derivada de em relação ao tempo , e é a segunda derivada. A matéria que vamos usar aqui é a de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar raízes de uma equação característica e montar a solução geral com base nessas raízes.

Passo 2

Primeiro, precisamos transformar a equação diferencial em uma equação característica. Suponha que a solução tenha a forma , onde é uma constante que precisamos encontrar. Vamos substituir essa forma na equação:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Podemos dividir tudo por (já que ):
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Para encontrar as raízes , usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Portanto, as raízes são:

Passo 4

Como obtivemos duas raízes reais e distintas ( e ), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores das raízes:
Aqui, e são constantes que serão determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação é:

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