Resolva a equação
e
:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui,
representa a primeira derivada de
em relação ao tempo
, e
é a segunda derivada. A matéria que vamos usar aqui é a de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar raízes de uma equação característica e montar a solução geral com base nessas raízes.
Passo 2
Primeiro, precisamos transformar a equação diferencial em uma equação característica. Suponha que a solução tenha a forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. Vamos substituir essa forma na equação:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Podemos dividir tudo por
(já que
):
Essa é a nossa equação característica.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Para encontrar as raízes
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Portanto, as raízes são:
Passo 4
Como obtivemos duas raízes reais e distintas (
e
), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores das raízes:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação é: