Determine a solução do problema: d^2x/dt^2 - 2dx/dt = 0, x(0) = 0 e x'(0) = 1,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! A gente tem uma equação que envolve derivadas de segunda ordem: , com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes específicas.

Passo 2

Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação característica. Isso ajuda a encontrar as soluções da equação. A equação dada é:
Vamos substituir por e por , resultando na equação característica:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica . Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções para :
Como temos raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Vamos aplicar a primeira condição inicial, . Substituindo na solução geral:
Então, temos:

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda condição inicial, . Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
Substituindo :
Então:
E, como :

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:

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