Determine a solução do problema:
e
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! A gente tem uma equação que envolve derivadas de segunda ordem:
, com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes específicas.
Passo 2
Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação característica. Isso ajuda a encontrar as soluções da equação. A equação dada é:
Vamos substituir
por
e
por
, resultando na equação característica:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica
. Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções para
:
Como temos raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Vamos aplicar a primeira condição inicial,
. Substituindo
na solução geral:
Então, temos:
Passo 5
Agora, aplicamos a segunda condição inicial,
. Primeiro, vamos encontrar a derivada de
:
Substituindo
:
Então:
E, como
:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é:
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Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando
e
.
.
Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando
e
.
Determine a fórmula para
semelhante à Fórmula 8 para o caso onde
é dada por
e
é o versor normal que aponta para a esquerda.
Resolva a equação
e
:
,