Determine uma fórmula para as seguintes somas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma soma que parece meio complicada:
O conteúdo que vamos usar aqui é somas telescópicas e frações parciais. Vamos precisar separar cada termo da soma para facilitar a conta e ver se dá pra simplificar tudo no final.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para um termo genérico da soma:
A ideia é decompor esse termo em duas frações menores que a gente consegue somar facilmente. Isso se chama frações parciais. Queremos escrever assim:
Multiplicando ambos os lados por
pra eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Escolhemos valores de
que facilitem a conta:
-
Se
: -
Se
:
Então, temos:
Passo 3
Agora que a gente simplificou os termos, vamos substituir na soma original:
Olha só que legal: muitos termos vão se cancelar! Isso é o que a gente chama de soma telescópica. Vamos ver:
- O
do primeiro par cancela com o do segundo par. - O
do segundo par cancela com o do terceiro par. - Isso continua até o final.
No final, sobra só:
Resposta
A fórmula da soma é:
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Mostre que as funçõ̃es abaixo satisfazem as equações de Laplace.
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Encontre as derivadas direcionais das funções no ponto dado e na direção de A.
no ponto
Encontre as derivadas direcionais das funções no ponto dado e na direção de A.
em
e
.