Determine uma fórmula para as seguintes somas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma soma que parece meio complicada:
O conteúdo que vamos usar aqui é somas telescópicas e frações parciais. Vamos precisar separar cada termo da soma para facilitar a conta e ver se dá pra simplificar tudo no final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para um termo genérico da soma:
A ideia é decompor esse termo em duas frações menores que a gente consegue somar facilmente. Isso se chama frações parciais. Queremos escrever assim:
Multiplicando ambos os lados por pra eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de e . Escolhemos valores de que facilitem a conta:
  • Se :
  • Se :
Então, temos:

Passo 3

Agora que a gente simplificou os termos, vamos substituir na soma original:
Olha só que legal: muitos termos vão se cancelar! Isso é o que a gente chama de soma telescópica. Vamos ver:
  • O do primeiro par cancela com o do segundo par.
  • O do segundo par cancela com o do terceiro par.
  • Isso continua até o final.
No final, sobra só:

Resposta

A fórmula da soma é:

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Mostre que as funçõ̃es abaixo satisfazem as equações de Laplace.
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Encontre as derivadas direcionais das funções no ponto dado e na direção de A. no ponto
Encontre as derivadas direcionais das funções no ponto dado e na direção de A. em e .