Encontre as derivadas direcionais das funções no ponto dado e na direção de A. no ponto
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de três variáveis, , e precisamos encontrar as derivadas direcionais dessa função em um ponto específico, que é , na direção do vetor .
Para resolver isso, precisamos conhecer o conceito de derivada direcional, que nos diz como a função varia em uma direção específica a partir de um ponto dado. Vamos precisar calcular o gradiente da função no ponto e depois usar esse gradiente para encontrar a derivada direcional na direção do vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Calculando a derivada parcial de em relação a :
(Ou seja, a derivada da ln(zx) em relação a y é zero porque não depende de y.)
Passo 5
Calculando a derivada parcial de em relação a :
(A derivada da cos(xy) em relação a z é zero porque não depende de z.)
Passo 6
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 7
Agora, precisamos usar o vetor direção . Para encontrar a direção unitária, normalizamos esse vetor dividindo-o pelo seu comprimento.
Primeiro, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário na direção de é:
Passo 8
A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente de com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é igual a 2.