Encontre as derivadas direcionais das funções no ponto dado e na direção de A. no ponto

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de três variáveis, , e precisamos encontrar as derivadas direcionais dessa função em um ponto específico, que é , na direção do vetor .
Para resolver isso, precisamos conhecer o conceito de derivada direcional, que nos diz como a função varia em uma direção específica a partir de um ponto dado. Vamos precisar calcular o gradiente da função no ponto e depois usar esse gradiente para encontrar a derivada direcional na direção do vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
(Ou seja, a derivada da ln(zx) em relação a y é zero porque não depende de y.)

Passo 5

Calculando a derivada parcial de em relação a :
(A derivada da cos(xy) em relação a z é zero porque não depende de z.)

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 7

Agora, precisamos usar o vetor direção . Para encontrar a direção unitária, normalizamos esse vetor dividindo-o pelo seu comprimento.
Primeiro, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 8

A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente de com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é igual a 2.

Exercícios relacionados

Determine uma fórmula para as seguintes somas:
Mostre que as funçõ̃es abaixo satisfazem as equações de Laplace.
Encontre as derivadas direcionais das funções no ponto dado e na direção de A. em e .
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :