Mostre que as funçõ̃es abaixo satisfazem as equações de Laplace.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função
e precisamos mostrar que ela satisfaz a equação de Laplace. A equação de Laplace é uma equação diferencial que envolve segundas derivadas parciais. Para resolver isso, vamos calcular as segundas derivadas de
em relação a cada variável
,
e
e verificar se a soma delas resulta em zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de Laplace. Em três dimensões, a equação de Laplace é dada por:
Nosso objetivo é calcular cada uma dessas segundas derivadas e somá-las para ver se o resultado é zero.
Passo 3
Vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
.
Primeiro, a derivada primeira de
em relação a
é:
Agora, a derivada segunda:
Explicação: Derivamos
em relação a
, multiplicando pelo coeficiente de
, que é 3, e repetimos o processo para obter a segunda derivada, resultando em 9.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
.
Primeiro, a derivada primeira de
em relação a
é:
Derivada segunda:
Explicação: Derivamos
em relação a
, multiplicando pelo coeficiente de
, que é 4, e repetimos o processo para obter a segunda derivada, resultando em 16.
Passo 5
Por fim, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
.
Primeiro, a derivada primeira de
em relação a
é:
Derivada segunda:
Explicação: Derivamos
em relação a
, o que nos dá
. Derivando novamente, obtemos
.
Passo 6
Agora, somamos as três segundas derivadas:
Explicação: Simplificamos os coeficientes das derivadas e observamos que a soma deles é zero, fazendo com que toda a expressão seja igual a zero.
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace, pois
.
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no ponto