Mostre que as funçõ̃es abaixo satisfazem as equações de Laplace.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função e precisamos mostrar que ela satisfaz a equação de Laplace. A equação de Laplace é uma equação diferencial que envolve segundas derivadas parciais. Para resolver isso, vamos calcular as segundas derivadas de em relação a cada variável , e e verificar se a soma delas resulta em zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de Laplace. Em três dimensões, a equação de Laplace é dada por:
Nosso objetivo é calcular cada uma dessas segundas derivadas e somá-las para ver se o resultado é zero.

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada de em relação a .
Primeiro, a derivada primeira de em relação a é:
Agora, a derivada segunda:
Explicação: Derivamos em relação a , multiplicando pelo coeficiente de , que é 3, e repetimos o processo para obter a segunda derivada, resultando em 9.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a .
Primeiro, a derivada primeira de em relação a é:
Derivada segunda:
Explicação: Derivamos em relação a , multiplicando pelo coeficiente de , que é 4, e repetimos o processo para obter a segunda derivada, resultando em 16.

Passo 5

Por fim, vamos calcular a segunda derivada de em relação a .
Primeiro, a derivada primeira de em relação a é:
Derivada segunda:
Explicação: Derivamos em relação a , o que nos dá . Derivando novamente, obtemos .

Passo 6

Agora, somamos as três segundas derivadas:
Explicação: Simplificamos os coeficientes das derivadas e observamos que a soma deles é zero, fazendo com que toda a expressão seja igual a zero.

Resposta

A função satisfaz a equação de Laplace, pois .

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