Encontre as derivadas direcionais das funções no ponto dado e na direção de A.
em
e
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar as derivadas direcionais da função:
no ponto
e na direção do vetor
.
Matéria envolvida:
- Derivadas direcionais
- Gradiente de funções
- Normalização de vetores
O que precisamos:
- Calcular o gradiente de
. - Normalizar o vetor
para obter a direção. - Aplicar a fórmula da derivada direcional usando o gradiente e o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Vamos por partes:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Pois a derivada de
é
vezes a derivada de
.
Então, juntando os dois termos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Novamente, por partes:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, vamos formar o gradiente:
Vamos avaliar esse gradiente no ponto
:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos normalizar o vetor
para obter a direção unitária
.
A fórmula para normalizar um vetor
é:
Onde
é a norma (ou módulo) de
:
Então:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Isso significa que multiplicamos componente a componente do gradiente pelo vetor direção e somamos os resultados.
Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar isso:
Distribuindo os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é:
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no ponto
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Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Resolva o PVI
.