Encontre as derivadas direcionais das funções no ponto dado e na direção de A. em e .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar as derivadas direcionais da função:
no ponto e na direção do vetor .
Matéria envolvida:
  • Derivadas direcionais
  • Gradiente de funções
  • Normalização de vetores
O que precisamos:
  1. Calcular o gradiente de .
  2. Normalizar o vetor para obter a direção.
  3. Aplicar a fórmula da derivada direcional usando o gradiente e o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Vamos por partes:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
Pois a derivada de é vezes a derivada de .
Então, juntando os dois termos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Novamente, por partes:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
Então, juntando tudo:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos formar o gradiente:
Vamos avaliar esse gradiente no ponto :
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos normalizar o vetor para obter a direção unitária .
A fórmula para normalizar um vetor é:
Onde é a norma (ou módulo) de :
Então:

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Isso significa que multiplicamos componente a componente do gradiente pelo vetor direção e somamos os resultados.
Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar isso:
Distribuindo os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é:

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