Determine uma fórmula para as seguintes somas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver uma soma que parece meio complicada: . O que queremos é encontrar uma fórmula que calcule essa soma de forma mais fácil, sem precisar somar todos os termos um por um. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e algumas técnicas de somas de séries com potências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que cada termo da soma é da forma , onde vai de 1 até . Nosso objetivo é encontrar uma soma geral dessa forma. Para simplificar, vamos considerar uma função que representa essa soma e tentar derivar uma expressão para ela.
Passo 3
Sabemos que a soma de uma série geométrica simples é . Mas como temos um multiplicando , precisamos ir um pouco além. Vamos usar derivadas para trazer os para a frente.
Passo 4
Vamos definir a função . Agora, para trazer o para baixo da soma, derivamos em relação a :
.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por , temos:
.
Isso nos dá a soma com um , mas a gente precisa de . Então, vamos derivar novamente.
Passo 6
Derivando em relação a , obtemos:
.
Multiplicando por , conseguimos:
.
Passo 7
Agora, substituímos na expressão acima para obter nossa soma original:
.
Calculando as derivadas e simplificando, chegamos à fórmula final para a soma .
Resposta
A fórmula para a soma é:
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