Determine uma fórmula para as seguintes somas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver uma soma que parece meio complicada:
. O que queremos é encontrar uma fórmula que calcule essa soma de forma mais fácil, sem precisar somar todos os termos um por um. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e algumas técnicas de somas de séries com potências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que cada termo da soma é da forma
, onde
vai de 1 até
. Nosso objetivo é encontrar uma soma geral dessa forma. Para simplificar, vamos considerar uma função que representa essa soma e tentar derivar uma expressão para ela.
Passo 3
Sabemos que a soma de uma série geométrica simples é
. Mas como temos um
multiplicando
, precisamos ir um pouco além. Vamos usar derivadas para trazer os
para a frente.
Passo 4
Vamos definir a função
. Agora, para trazer o
para baixo da soma, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Isso nos dá a soma com um
, mas a gente precisa de
. Então, vamos derivar novamente.
Passo 6
Derivando
em relação a
, obtemos:
Multiplicando por
, conseguimos:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão acima para obter nossa soma original:
Calculando as derivadas e simplificando, chegamos à fórmula final para a soma
.
Resposta
A fórmula para a soma
é: