Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
. Isso faz parte da matéria de equações de recorrência, onde buscamos encontrar uma fórmula geral que descreva todos os termos da sequência a partir de relações anteriores. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a equação característica associada à nossa equação de diferença. Para uma equação de segunda ordem como a nossa, a equação característica é obtida substituindo
por
. Assim, temos:
Dividindo ambos os lados por
(e assumindo que
), simplificamos para:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica
para encontrar as raízes
.
Então, as raízes são reais e distintas:
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da nossa equação de diferença. Para equações com raízes reais e distintas, a solução geral é dada por:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais (mas como estamos achando a solução geral, não precisamos especificá-las agora).
Resposta
A solução geral da equação de diferença é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais da sequência.
Exercícios relacionados
Determine uma fórmula para as seguintes somas:
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :