Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: . Isso faz parte da matéria de equações de recorrência, onde buscamos encontrar uma fórmula geral que descreva todos os termos da sequência a partir de relações anteriores. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a equação característica associada à nossa equação de diferença. Para uma equação de segunda ordem como a nossa, a equação característica é obtida substituindo por . Assim, temos:
Dividindo ambos os lados por (e assumindo que ), simplificamos para:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica para encontrar as raízes .
Então, as raízes são reais e distintas: e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da nossa equação de diferença. Para equações com raízes reais e distintas, a solução geral é dada por:
Onde e são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais (mas como estamos achando a solução geral, não precisamos especificá-las agora).

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais da sequência.

Exercícios relacionados

Determine uma fórmula para as seguintes somas:
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :