Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Vamos resolver a equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
. Este tipo de equação faz parte do estudo de recorrências e sistemas dinâmicos, e para resolvê-la, precisamos encontrar suas soluções gerais utilizando características das equações lineares.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. Aqui, a equação é
. Podemos reescrever essa equação em termos de
:
Passo 3
Em seguida, estabelecemos a equação característica associada à equação de diferença. Para uma equação de segunda ordem como esta, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação:
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
(considerando
):
Passo 5
Resolvendo para
:
Passo 6
Como temos duas soluções distintas para
, a solução geral da equação de diferença é dada pela combinação linear dessas soluções:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação é:
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Determine uma fórmula para as seguintes somas:
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