Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Vamos resolver a equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: . Este tipo de equação faz parte do estudo de recorrências e sistemas dinâmicos, e para resolvê-la, precisamos encontrar suas soluções gerais utilizando características das equações lineares.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. Aqui, a equação é . Podemos reescrever essa equação em termos de :

Passo 3

Em seguida, estabelecemos a equação característica associada à equação de diferença. Para uma equação de segunda ordem como esta, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação:

Passo 4

Dividindo ambos os lados por (considerando ):

Passo 5

Resolvendo para :

Passo 6

Como temos duas soluções distintas para , a solução geral da equação de diferença é dada pela combinação linear dessas soluções:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação é:

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Determine uma fórmula para as seguintes somas:
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