Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação de diferença linear de primeira ordem:
Isso significa que a cada passo
, o próximo valor
depende do valor atual
e de
. Para resolver essa equação, vamos usar métodos de equações lineares de recorrência, especificamente o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Essa é uma equação linear de primeira ordem, onde podemos identificar:
Passo 3
Para resolver esse tipo de equação, usamos o fator integrante, que é uma função que simplifica a equação permitindo encontrar a solução geral. O fator integrante
é dado por:
Calculando a soma de
:
Então, o fator integrante fica:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação original pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser escrita como a diferença de produtos:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
:
Onde
é a constante de integração. Substituindo
:
Passo 6
Para simplificar a soma, observamos que:
Aplicando a condição inicial
, encontramos a constante
:
Quando
:
Resposta
A solução da equação de diferença dada é:
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