Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação de diferença linear de primeira ordem:
Isso significa que a cada passo , o próximo valor depende do valor atual e de . Para resolver essa equação, vamos usar métodos de equações lineares de recorrência, especificamente o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão. Subtraindo de ambos os lados, temos:
Essa é uma equação linear de primeira ordem, onde podemos identificar:

Passo 3

Para resolver esse tipo de equação, usamos o fator integrante, que é uma função que simplifica a equação permitindo encontrar a solução geral. O fator integrante é dado por:
Calculando a soma de :
Então, o fator integrante fica:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação original pelo fator integrante :
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser escrita como a diferença de produtos:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados para encontrar :
Onde é a constante de integração. Substituindo :

Passo 6

Para simplificar a soma, observamos que:
Aplicando a condição inicial , encontramos a constante :
Quando :

Resposta

A solução da equação de diferença dada é:

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Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :