Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação de diferença linear de primeira ordem: , com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações de diferença lineares e aplicar métodos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. Podemos isolar :
Isso nos mostra como calcular o próximo termo da sequência a partir do termo atual.

Passo 3

Agora, vamos calcular os primeiros termos da sequência usando a condição inicial .
Para :

Passo 4

Para :

Passo 5

Para :

Passo 6

Para :

Passo 7

Observando os cálculos, vemos que a sequência está seguindo um padrão. Vamos tentar encontrar uma expressão geral para .
A equação geral é:
Podemos rearranjar isso para:
Isso sugere que a solução envolve somar termos alternados com .

Passo 8

A solução da equação de diferença linear pode ser encontrada usando métodos homogêneo e particular. Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A solução geral da homogênea é:
onde é uma constante.

Passo 9

Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa . Vamos supor que a solução particular tem a forma .
Substituindo na equação:
Simplificando e igualando os coeficientes:
Igualando os coeficientes de cada termo, temos:
Então, a solução particular é:

Passo 10

A solução geral da equação de diferença é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 11

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Então, .

Resposta

A solução da equação de diferença é:

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