Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação de diferença linear de primeira ordem:
, com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações de diferença lineares e aplicar métodos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. Podemos isolar
:
Isso nos mostra como calcular o próximo termo da sequência a partir do termo atual.
Passo 3
Agora, vamos calcular os primeiros termos da sequência usando a condição inicial
.
Para
:
Passo 4
Para
:
Passo 5
Para
:
Passo 6
Para
:
Passo 7
Observando os cálculos, vemos que a sequência está seguindo um padrão. Vamos tentar encontrar uma expressão geral para
.
A equação geral é:
Podemos rearranjar isso para:
Isso sugere que a solução envolve somar termos alternados com
.
Passo 8
A solução da equação de diferença linear pode ser encontrada usando métodos homogêneo e particular. Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A solução geral da homogênea é:
onde
é uma constante.
Passo 9
Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa
. Vamos supor que a solução particular tem a forma
.
Substituindo na equação:
Simplificando e igualando os coeficientes:
Igualando os coeficientes de cada termo, temos:
Então, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral da equação de diferença é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 11
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Então,
.
Resposta
A solução da equação de diferença é:
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Determine uma fórmula para as seguintes somas: