Determine uma fórmula para as seguintes somas: S = 1 * 2^1 + 2 * 2^2 + 3 * 2^3 + ... + n * 2^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma fórmula para a soma . Para isso, vamos utilizar conceitos de progressões geométricas e técnicas de somas envolvendo termos multiplicados por uma variável.

Passo 2

Sabemos que a soma de uma progressão geométrica simples é dada por:
No entanto, na nossa soma, cada termo está multiplicando . Isso significa que precisamos adaptar a fórmula para lidar com esse fator adicional .

Passo 3

Para resolver esse tipo de soma, podemos usar o método de diferenciação. Vamos considerar a função:
Agora, vamos diferenciar em relação a :
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula acima:
Simplificando os termos:

Resposta

A fórmula para a soma é:

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