Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Vamos resolver a equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Para isso, vamos usar a teoria das equações lineares com coeficientes constantes e encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

O primeiro passo para resolver essa equação é encontrar a equação característica. Isso é feito assumindo que a solução tem a forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação original, temos:
Podemos dividir todos os termos por (desde que ):
Essa é a nossa equação característica.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Para resolver essa equação, calculamos o delta ( ):

Passo 5

Como o delta é zero ( ), isso significa que temos duas raízes reais e iguais. Vamos encontrar o valor de :
Portanto, temos uma raiz dupla .

Passo 6

Quando a equação característica tem raízes iguais, a solução geral da equação de diferença é dada por:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais da equação. Substituindo :

Resposta

A solução geral da equação de diferença dada é:
onde e são constantes que podem ser encontradas a partir de condições iniciais específicas.

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Determine uma fórmula para as seguintes somas:
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :