Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Vamos resolver a equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Para isso, vamos usar a teoria das equações lineares com coeficientes constantes e encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
O primeiro passo para resolver essa equação é encontrar a equação característica. Isso é feito assumindo que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação original, temos:
Podemos dividir todos os termos por
(desde que
):
Essa é a nossa equação característica.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Para resolver essa equação, calculamos o delta (
):
Passo 5
Como o delta é zero (
), isso significa que temos duas raízes reais e iguais. Vamos encontrar o valor de
:
Portanto, temos uma raiz dupla
.
Passo 6
Quando a equação característica tem raízes iguais, a solução geral da equação de diferença é dada por:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais da equação. Substituindo
:
Resposta
A solução geral da equação de diferença dada é:
onde
e
são constantes que podem ser encontradas a partir de condições iniciais específicas.
Exercícios relacionados
Determine uma fórmula para as seguintes somas:
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :