Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F, d S, para F(x, y, z)=(x^2 z^2, y^2 z^2, x y z), S é a parte do parabolóide z-x^2+y^2 que está dentro do cilinilro x^2+y^2-4, orientado para cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial integral duplaS rot , F , dS sobre uma superfície , usando o Teorema de Stokes. O enunciado é:
Onde , e é a parte do paraboloide que está dentro do cilindro , orientada para cima.
Vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular a rotacional de , e depois parametrizar a curva de fronteira da superfície .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial com a integral de linha desse campo ao longo da borda da superfície. Em fórmulas, temos:
integral duplaS rot , F , dS = ointC F cdot dr
Isso significa que, ao invés de calcular a integral de superfície, que pode ser complicada, podemos calcular a integral de linha ao longo da curva , que é a fronteira de .

Passo 3

Agora, vamos identificar a curva z = x^2 - y^2 = (x^2 + y^2) - 2y^2 = 4 - 2y^2 . Ela é a interseção do paraboloide com o cilindro . Para encontrar essa curva, substituímos na equação do paraboloide:
Então, a curva está no plano e satisfaz .

Passo 4

Para parametrizar a curva x = 2 cos theta , vamos usar coordenadas polares, já que estamos lidando com um cilindro circular. Seja:
y = 2 sin theta
z = 4 - 2(2 sin theta)^2 = 4 - 8 sin^2 theta
Onde r(theta) = (2 cos theta, 2 sin theta, 4 - 8 sin^2 theta) varia de a . Substituindo na equação de :
Então, a parametrização de é:

Passo 5

Agora, precisamos calcular F(theta) = ( (2 cos theta)^2 (4 - 8 sin^2 theta)^2, (2 sin theta)^2 (4 - 8 sin^2 theta)^2, (2 cos theta)(2 sin theta)(4 - 8 sin^2 theta) ) na curva . Substituindo , , e em :
Isso parece complicado, mas vamos simplificar quando formos calcular o produto escalar com .

Passo 6

Calculamos dr = drdtheta dtheta = ( -2 sin theta, 2 cos theta, -16 sin theta cos theta ) dtheta , que é a derivada de em relação a :

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr = Fx cdot (-2 sin theta) + Fy cdot (2 cos theta) + Fz cdot (-16 sin theta cos theta) . De forma geral, isso envolve multiplicar cada componente de pela correspondente de e somar:
Mas vamos lembrar que muitos termos irão simplificar devido às potências de seno e cosseno.

Passo 8

Devido à complexidade da expressão, uma maneira mais prática é calcular a rotacional de rot , F = nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z x^2 z^2 & y^2 z^2 & x y z e integrar sobre rot , F = ( partialpartial y(x y z) - partialpartial z(y^2 z^2) ) i - ( partialpartial x(x y z) - partialpartial z(x^2 z^2) ) j + ( partialpartial x(y^2 z^2) - partialpartial y(x^2 z^2) ) k . Vamos então calcular rot , F = ( yz - 2y^2z ) i - ( y z - 2x^2z ) j + ( 2y z^2 - 0 ) k .
rot , F = yz(1 - 2y) i - yz(1 - 2x^2) j + 2y z^2 k
Calculando o determinante:
Calculando cada derivada:
Ou simplificando:

Passo 9

Agora, precisamos integrar x = r cos theta, y = r sin theta, z = r^2 cos^2 theta - r^2 sin^2 theta = r^2 (cos^2 theta - sin^2 theta) sobre a superfície dS = raiz1 + ( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 , r , dr , dtheta . Como a superfície está orientada para cima, e é parte do paraboloide partial zpartial x = 2x, partial zpartial y = -2y dentro do cilindro dS = raiz1 + (2x)^2 + (-2y)^2 , r , dr , dtheta = raiz1 + 4x^2 + 4y^2 , r , dr , dtheta = raiz1 + 4r^2 , r , dr , dtheta , vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração.
Em coordenadas polares:
O elemento de área em coordenadas polares é:
Calculando as derivadas parciais:
Então:

Passo 10

Agora, substituímos na expressão da integral dupla. Mas devido à complexidade das expressões, é mais eficiente continuar com a integral de linha já parametrizada.
Vamos voltar ao passo 7 e continuar com a integração de linha.

Passo 11

Calculando F cdot dr = (x^2 z^2)(-2 sin theta) + (y^2 z^2)(2 cos theta) + (x y z)(-16 sin theta cos theta) :
= (4 cos^2 theta cdot (4 - 8 sin^2 theta)^2)(-2 sin theta) + (4 sin^2 theta cdot (4 - 8 sin^2 theta)^2)(2 cos theta) + (4 cos theta sin theta cdot (4 - 8 sin^2 theta))(-16 sin theta cos theta)
Substituindo , , e :
Isso simplifica para uma função em termos de que podemos integrar de a .

Passo 12

Após simplificar os termos (o que envolve expandir e combinar termos semelhantes), a integração resulta em zero. Isso ocorre devido à simetria das funções trigonométricas integradas sobre o intervalo completo de a , que cancelam as contribuições positivas e negativas.

Resposta

A integral é igual a zero.

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