Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a solução geral da equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Isso significa que queremos uma expressão que descreva todos os possíveis valores de que satisfazem essa relação para qualquer .

Passo 2

Para resolver essa equação, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que envolve encontrar a equação característica associada. A equação característica é uma equação polinomial obtida substituindo na equação original. Aplicando isso, temos:
Dividindo todos os termos por (assumindo ):

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica:
Essa é uma equação quadrática que pode ser fatorada da seguinte forma:
Então, a raiz dupla é:

Passo 4

Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação de diferença será:
Aqui, e são constantes que determinamos com base nas condições iniciais fornecidas no problema (se houver).

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:

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Determine uma fórmula para as seguintes somas:
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