Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a solução geral da equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Isso significa que queremos uma expressão que descreva todos os possíveis valores de
que satisfazem essa relação para qualquer
.
Passo 2
Para resolver essa equação, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que envolve encontrar a equação característica associada. A equação característica é uma equação polinomial obtida substituindo
na equação original. Aplicando isso, temos:
Dividindo todos os termos por
(assumindo
):
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica:
Essa é uma equação quadrática que pode ser fatorada da seguinte forma:
Então, a raiz dupla é:
Passo 4
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação de diferença será:
Aqui,
e
são constantes que determinamos com base nas condições iniciais fornecidas no problema (se houver).
Resposta
A solução geral da equação de diferença é:
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Determine uma fórmula para as seguintes somas:
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