Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1: y(n+1) = (n+1) * y(n) + 2^n * (n+1)!, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferença de primeira ordem:
Isso está relacionado ao estudo de equações de diferença lineares, que são como as equações diferenciais, mas para sequências. Vamos precisar usar fatores integrantes para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão para identificar os coeficientes:
Aqui, podemos ver que nosso “a_n” é n + 1 e “b_n” é .

Passo 3

Agora, vamos achar o fator integrante. Para equações lineares de primeira ordem, o fator integrante é dado por:
Isso porque estamos multiplicando todos os coeficientes desde k = 0 até .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Simplificando o lado esquerdo:
Perceba que , então:

Passo 5

A equação agora está na forma:
Podemos reescrever isso como uma diferença:
Ou seja:
Integrando ambos os lados, somamos de 0 até n - 1:

Passo 6

Sabemos que e . Então:
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar , dividimos ambos os lados por :
Podemos simplificar a expressão final se necessário, mas essa é a forma geral da solução.

Resposta

A solução da equação de diferença é:

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