Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferença de primeira ordem:
Isso está relacionado ao estudo de equações de diferença lineares, que são como as equações diferenciais, mas para sequências. Vamos precisar usar fatores integrantes para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão para identificar os coeficientes:
Aqui, podemos ver que nosso “a_n” é
e “b_n” é
.
Passo 3
Agora, vamos achar o fator integrante. Para equações lineares de primeira ordem, o fator integrante
é dado por:
Isso porque estamos multiplicando todos os coeficientes
desde
até
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Simplificando o lado esquerdo:
Perceba que
, então:
Passo 5
A equação agora está na forma:
Podemos reescrever isso como uma diferença:
Ou seja:
Integrando ambos os lados, somamos de
até
:
Passo 6
Sabemos que
e
. Então:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Podemos simplificar a expressão final se necessário, mas essa é a forma geral da solução.
Resposta
A solução da equação de diferença é: