Determine uma fórmula para as seguintes somas:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma que segue o padrão:
O conteúdo envolvido aqui é a soma de uma progressão geométrica com coeficientes lineares. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de progressões geométricas e derivação de sequências.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a soma de uma forma mais geral. Observamos que cada termo da soma pode ser escrito como , onde vai de 1 até . Então, nossa soma fica:
Para encontrar uma fórmula para essa soma, precisamos manipular essa expressão de forma a conseguir somar todos os termos.

Passo 3

Lembramos que a soma de uma progressão geométrica simples é:
No entanto, nossa soma tem um termo extra que multiplica . Para lidar com isso, vamos diferenciar a soma geométrica em relação a .

Passo 4

Vamos considerar a soma geométrica geral:
Agora, vamos derivar em relação a :
Multiplicando ambos os lados por para ajustar a potência, temos:

Passo 5

Aplicando essa fórmula para , temos:
Simplificando os termos:

Passo 6

Finalmente, vamos simplificar a expressão obtida:
Podemos fatorar nos primeiros termos:

Resposta

A fórmula para a soma é:

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Resolva a seguinte equação diferencial ordinária centrada em , representando a solução na forma geral.
Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Seja uma função diferenciável. Calcule