Determine uma fórmula para as seguintes somas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma que segue o padrão:
O conteúdo envolvido aqui é a soma de uma progressão geométrica com coeficientes lineares. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de progressões geométricas e derivação de sequências.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a soma de uma forma mais geral. Observamos que cada termo da soma pode ser escrito como
, onde
vai de 1 até
. Então, nossa soma fica:
Para encontrar uma fórmula para essa soma, precisamos manipular essa expressão de forma a conseguir somar todos os termos.
Passo 3
Lembramos que a soma de uma progressão geométrica simples é:
No entanto, nossa soma tem um termo extra
que multiplica
. Para lidar com isso, vamos diferenciar a soma geométrica em relação a
.
Passo 4
Vamos considerar a soma geométrica geral:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
para ajustar a potência, temos:
Passo 5
Aplicando essa fórmula para
, temos:
Simplificando os termos:
Passo 6
Finalmente, vamos simplificar a expressão obtida:
Podemos fatorar
nos primeiros termos:
Resposta
A fórmula para a soma
é:
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Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1:
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Seja
uma função diferenciável. Calcule