Determine uma fórmula para as seguintes somas: S = 1 * 5 + 2 * 5^2 + 3 * 5^3 + 4 * 5^4 + ... + n * 5^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma que segue o padrão:
O conteúdo envolvido aqui é a soma de uma progressão geométrica com coeficientes lineares. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de progressões geométricas e derivação de sequências.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a soma de uma forma mais geral. Observamos que cada termo da soma pode ser escrito como , onde vai de 1 até . Então, nossa soma fica:
Para encontrar uma fórmula para essa soma, precisamos manipular essa expressão de forma a conseguir somar todos os termos.

Passo 3

Lembramos que a soma de uma progressão geométrica simples é:
No entanto, nossa soma tem um termo extra que multiplica . Para lidar com isso, vamos diferenciar a soma geométrica em relação a .

Passo 4

Vamos considerar a soma geométrica geral:
Agora, vamos derivar em relação a :
Multiplicando ambos os lados por para ajustar a potência, temos:

Passo 5

Aplicando essa fórmula para , temos:
Simplificando os termos:

Passo 6

Finalmente, vamos simplificar a expressão obtida:
Podemos fatorar nos primeiros termos:

Resposta

A fórmula para a soma é:

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