Seja f(x-y, y-z, z-x) uma função diferenciável. Calcule partial fpartial x+partial fpartial y+partial fpartial z

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável e precisamos calcular a soma das derivadas parciais de em relação a , e , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos definir novas variáveis para simplificar:
Assim, a função pode ser reescrita como .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial fpartial x = partial fpartial u cdot partial upartial x + partial fpartial v cdot partial vpartial x + partial fpartial w cdot partial wpartial x em relação a partial upartial x = 1, partial vpartial x = 0, partial wpartial x = -1 , partial fpartial x = partial fpartial u - partial fpartial w e usando a regra da cadeia.
Para :
Sabendo que:
Portanto:

Passo 4

Da mesma forma, para partial fpartial y = partial fpartial u cdot partial upartial y + partial fpartial v cdot partial vpartial y + partial fpartial w cdot partial wpartial y :
partial upartial y = -1, partial vpartial y = 1, partial wpartial y = 0
Sabendo que:
partial fpartial y = -partial fpartial u + partial fpartial v
Portanto:

Passo 5

E para partial fpartial z = partial fpartial u cdot partial upartial z + partial fpartial v cdot partial vpartial z + partial fpartial w cdot partial wpartial z :
partial upartial z = 0, partial vpartial z = -1, partial wpartial z = 1
Sabendo que:
partial fpartial z = -partial fpartial v + partial fpartial w
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos somar as três derivadas parciais encontradas:
partial fpartial x + partial fpartial y + partial fpartial z = (partial fpartial u - partial fpartial w) + (-partial fpartial u + partial fpartial v) + (-partial fpartial v + partial fpartial w)
Simplificando os termos:
partial fpartial u - partial fpartial w - partial fpartial u + partial fpartial v - partial fpartial v + partial fpartial w = 0

Resposta

A soma das derivadas parciais é igual a zero.

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