Determine a solução das equações de diferença lineares de ordem 1: y_{n+1} = y_{n} + n, y_{0} = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação de diferença linear de primeira ordem: , com a condição inicial . Isso faz parte da matéria de Equações de Diferença, que estuda como sequências se comportam. Para resolver, a gente vai precisar entender como essas sequências evoluem passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação está dizendo. Ela relaciona um termo da sequência ( ) com o termo anterior ( ) e adiciona o número . Isso significa que cada próximo termo é igual ao anterior mais .

Passo 3

Agora, vamos pensar em como calcular os termos da sequência a partir da condição inicial . Vamos calcular alguns termos para entender o padrão:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante. Vemos que cada termo depende do anterior mais o valor de .

Passo 4

Para encontrar uma fórmula geral para , a gente pode somar todas essas diferenças desde o início até o n-ésimo termo. Isso significa que:
Como , simplificamos para:

Passo 5

Agora, precisamos calcular essa soma. A soma dos primeiros números inteiros é uma fórmula conhecida:
Então, substituímos na expressão de :

Resposta

A solução da equação de diferença é:

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