Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem:
. Esse tipo de equação aparece quando queremos modelar sequências recorrentes, tipo a famosa sequência de Fibonacci. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral usando a equação característica, que nos ajuda a encontrar a forma da solução baseada nos coeficientes da equação.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica. Para uma equação de segunda ordem como essa, a equação característica é obtida substituindo
por
. Assim, temos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 3
Como encontramos duas raízes reais e distintas (
e
), a solução geral da equação de diferença é uma combinação linear dessas raízes elevadas à potência
. Ou seja:
onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais da sequência.
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
e
são constantes.
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Determine uma fórmula para as seguintes somas:
Seja
uma função diferenciável. Calcule
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :