Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem: . Esse tipo de equação aparece quando queremos modelar sequências recorrentes, tipo a famosa sequência de Fibonacci. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral usando a equação característica, que nos ajuda a encontrar a forma da solução baseada nos coeficientes da equação.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica. Para uma equação de segunda ordem como essa, a equação característica é obtida substituindo por . Assim, temos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 3

Como encontramos duas raízes reais e distintas ( e ), a solução geral da equação de diferença é uma combinação linear dessas raízes elevadas à potência . Ou seja:
onde e são constantes que dependem das condições iniciais da sequência.

Resposta

A solução geral da equação é , onde e são constantes.

Exercícios relacionados

Determine uma fórmula para as seguintes somas:
Resolva a seguinte equação diferencial ordinária centrada em , representando a solução na forma geral.
Seja uma função diferenciável. Calcule
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :