(M) Uma placa isolante, infinita, de espessura 2 d é posicionada paralelamente ao plano X Y de um sistema de coordenadas, de forma a ocupar a região delimitada por -d <= z <= d. Ela está uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga rho0. Utilizando o campo elétrico calculado para este sistema na lista anterior, obtenha o potencial elétrico em todo o espaço. Tome como zero um ponto sobre o plano médio da placa, ou seja, z=0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma placa isolante infinita, com espessura , localizada entre e . Essa placa está carregada de forma uniforme, com uma densidade volumétrica de carga . Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico em todo o espaço, usando como referência (zero do potencial) o ponto no plano médio da placa, ou seja, em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o campo elétrico E = -nabla V e o potencial elétrico Ez = -dVdz estão relacionados pela equação:
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. Como estamos lidando com simetria planar, podemos simplificar essa relação para:
onde é a componente do campo elétrico na direção .

Passo 3

Já que a placa é infinita e carregada uniformemente, o campo elétrico fora da placa ( Ez = rho0 depsilon0 para |z| > d ou Ez = rho0 zepsilon0 ) é constante e dado por:
e dentro da placa ( ):
Essas expressões nos dão o campo elétrico em diferentes regiões do espaço.

Passo 4

Agora, para encontrar o potencial V(z) = -integral Ez , dz + C , precisamos integrar o campo elétrico em relação a . A integral será:
Onde é a constante de integração que determinaremos usando a condição de que .

Passo 5

Vamos integrar nas diferentes regiões:
Dentro da placa ( V(z) = -integral rho0 zepsilon0 , dz + C = -rho02epsilon0 z^2 + C ):
V(z) = -rho02epsilon0 z^2
Usando V(z) = -rho0 depsilon0 z + C , temos -rho0 depsilon0 d + C = -rho02epsilon0 d^2 implies C = rho0 d^22epsilon0 . Então:
V(z) = rho0 d^22epsilon0 - rho0 depsilon0 z
Fora da placa ( V(z) = rho0 d^22epsilon0 + rho0 depsilon0 z ):
O campo é constante, então:
Para encontrar , usamos que deve ser contínuo:
Portanto:
Para :
Usamos simetria:

Resposta

O potencial elétrico V(z) = -dfracrho02 epsilon0 z^2 & para -d <= z <= d, dfracrho0 d^22 epsilon0 - dfracrho0 depsilon0 z & para z > d, dfracrho0 d^22 epsilon0 + dfracrho0 depsilon0 z & para z < -d em todo o espaço é dado por:

Exercícios relacionados