(M) Uma placa isolante, infinita, de espessura
é posicionada paralelamente ao plano
de um sistema de coordenadas, de forma a ocupar a região delimitada por
. Ela está uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga
. Utilizando o campo elétrico calculado para este sistema na lista anterior, obtenha o potencial elétrico em todo o espaço. Tome como zero um ponto sobre o plano médio da placa, ou seja,
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma placa isolante infinita, com espessura
, localizada entre
e
. Essa placa está carregada de forma uniforme, com uma densidade volumétrica de carga
. Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico em todo o espaço, usando como referência (zero do potencial) o ponto no plano médio da placa, ou seja, em
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o campo elétrico
e o potencial elétrico
estão relacionados pela equação:
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. Como estamos lidando com simetria planar, podemos simplificar essa relação para:
onde
é a componente do campo elétrico na direção
.
Passo 3
Já que a placa é infinita e carregada uniformemente, o campo elétrico fora da placa (
ou
) é constante e dado por:
e dentro da placa (
):
Essas expressões nos dão o campo elétrico em diferentes regiões do espaço.
Passo 4
Agora, para encontrar o potencial
, precisamos integrar o campo elétrico em relação a
. A integral será:
Onde
é a constante de integração que determinaremos usando a condição de que
.
Passo 5
Vamos integrar nas diferentes regiões:
Dentro da placa (
):
Usando
, temos
. Então:
Fora da placa (
):
O campo é constante, então:
O campo é constante, então:
Para encontrar
, usamos que
deve ser contínuo:
Portanto:
Para
:
Usamos simetria:
Usamos simetria:
Resposta
O potencial elétrico
em todo o espaço é dado por: