(M) Uma placa isolante, infinita, de espessura é posicionada paralelamente ao plano de um sistema de coordenadas, de forma a ocupar a região delimitada por . Ela está uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga . Utilizando o campo elétrico calculado para este sistema na lista anterior, obtenha o potencial elétrico em todo o espaço. Tome como zero um ponto sobre o plano médio da placa, ou seja, .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma placa isolante infinita, com espessura , localizada entre e . Essa placa está carregada de forma uniforme, com uma densidade volumétrica de carga . Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico em todo o espaço, usando como referência (zero do potencial) o ponto no plano médio da placa, ou seja, em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o campo elétrico e o potencial elétrico estão relacionados pela equação:
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. Como estamos lidando com simetria planar, podemos simplificar essa relação para:
onde é a componente do campo elétrico na direção .

Passo 3

Já que a placa é infinita e carregada uniformemente, o campo elétrico fora da placa ( ou ) é constante e dado por:
e dentro da placa ( ):
Essas expressões nos dão o campo elétrico em diferentes regiões do espaço.

Passo 4

Agora, para encontrar o potencial , precisamos integrar o campo elétrico em relação a . A integral será:
Onde é a constante de integração que determinaremos usando a condição de que .

Passo 5

Vamos integrar nas diferentes regiões:
Dentro da placa ( ):
Usando , temos . Então:
Fora da placa ( ):
O campo é constante, então:
Para encontrar , usamos que deve ser contínuo:
Portanto:
Para :
Usamos simetria:

Resposta

O potencial elétrico em todo o espaço é dado por:

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