Determine a função complementar e uma forma adequada para a solução particular utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar duas partes da solução de uma equação diferencial do tipo:
y'' + 4 y' + 20 y = x^2 e^-2 x sin 4x - 3 cos 4x - x e^-2 x
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a função complementar (yc) que resolve a equação homogênea associada e uma solução particular (yp) que resolve a equação completa. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que envolve supor uma forma para yp e ajustar os coeficientes para que a equação seja satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função complementar (yc). Para isso, consideramos a equação homogênea:
y'' + 4 y' + 20 y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação está na forma de funções exponenciais e trigonométricas, dependendo das raízes da equação característica.
Passo 3
Vamos encontrar as raízes da equação característica associada. Escrevemos a equação característica substituindo y por e^m x:
m^2 + 4 m + 20 = 0
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são complexas: m = -2 + 4i e m = -2 - 4i.
Passo 4
Com raízes complexas da forma m = alpha pm beta i, a solução geral da equação homogênea é:
yc(x) = e^alpha x ( c1 cos beta x + c2 sin beta x )
Substituindo alpha = -2 e beta = 4:
yc(x) = e^-2x ( c1 cos 4x + c2 sin 4x )
Essa é a função complementar.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular (yp) usando o método dos coeficientes a determinar. Observamos o lado direito da equação:
x^2 e^-2x sin 4x - 3 cos 4x - x e^-2x
Precisamos propor uma forma para yp que, quando derivada duas vezes e substituída na equação original, iguale-se ao lado direito.
Passo 6
Vamos analisar cada termo do lado direito separadamente:
Termo x^2 e^-2x sin 4x: Este termo sugere uma combinação de polinômio em x, exponencial e funções trigonométricas. Precisamos propor uma solução da forma:
( A x^3 + B x^2 + C x ) e^-2x cos 4x + ( D x^3 + E x^2 + F x ) e^-2x sin 4x
Termo -3 cos 4x: Este é um termo trigonométrico puro. Porém, percebemos que cos 4x já está presente na função complementar multiplicada por e^-2x. Para evitar duplicação e garantir independência das soluções, adicionamos termos constantes:
G cos 4x + H sin 4x
Termo -x e^-2x: Este é um termo exponencial multiplicado por um polinômio de primeiro grau. Propondo uma solução da forma:
I x e^-2x + J e^-2x
Passo 7
Juntando todas as partes, nossa solução particular fica:
yp(x) = ( A x^3 + B x^2 + C x ) e^-2x cos 4x + ( D x^3 + E x^2 + F x ) e^-2x sin 4x + G cos 4x + H sin 4x + ( I x + J ) e^-2x
Aqui, A, B, C, D, E, F, G, H, I, e J são os coeficientes que precisamos determinar, mas conforme o enunciado, não precisamos calcular esses valores agora.
Resposta
l yc(x) = e^-2x ( c1 cos 4x + c2 sin 4x ) yp(x) = ( A x^3 + B x^2 + C x ) e^-2x cos 4x + ( D x^3 + E x^2 + F x ) e^-2x sin 4x + G cos 4x + H sin 4x + ( I x + J ) e^-2x