Determine a função complementar e uma forma adequada para a solução particular utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar duas partes da solução de uma equação diferencial do tipo:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a função complementar () que resolve a equação homogênea associada e uma solução particular () que resolve a equação completa. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que envolve supor uma forma para e ajustar os coeficientes para que a equação seja satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função complementar (). Para isso, consideramos a equação homogênea:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação está na forma de funções exponenciais e trigonométricas, dependendo das raízes da equação característica.
Passo 3
Vamos encontrar as raízes da equação característica associada. Escrevemos a equação característica substituindo por :
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são complexas: e .
Passo 4
Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação homogênea é:
Substituindo e :
Essa é a função complementar.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular () usando o método dos coeficientes a determinar. Observamos o lado direito da equação:
Precisamos propor uma forma para que, quando derivada duas vezes e substituída na equação original, iguale-se ao lado direito.
Passo 6
Vamos analisar cada termo do lado direito separadamente:
Termo : Este termo sugere uma combinação de polinômio em , exponencial e funções trigonométricas. Precisamos propor uma solução da forma:
Termo : Este é um termo trigonométrico puro. Porém, percebemos que já está presente na função complementar multiplicada por . Para evitar duplicação e garantir independência das soluções, adicionamos termos constantes:
Termo : Este é um termo exponencial multiplicado por um polinômio de primeiro grau. Propondo uma solução da forma:
Passo 7
Juntando todas as partes, nossa solução particular fica:
Aqui, e são os coeficientes que precisamos determinar, mas conforme o enunciado, não precisamos calcular esses valores agora.