Determine a função complementar e uma forma adequada para a solução particular utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em

Resp:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar duas partes da solução de uma equação diferencial do tipo:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a função complementar ( ) que resolve a equação homogênea associada e uma solução particular ( ) que resolve a equação completa. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que envolve supor uma forma para e ajustar os coeficientes para que a equação seja satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função complementar ( ). Para isso, consideramos a equação homogênea:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação está na forma de funções exponenciais e trigonométricas, dependendo das raízes da equação característica.

Passo 3

Vamos encontrar as raízes da equação característica associada. Escrevemos a equação característica substituindo por :
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são complexas: e .

Passo 4

Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação homogênea é:
Substituindo e :
Essa é a função complementar.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular ( ) usando o método dos coeficientes a determinar. Observamos o lado direito da equação:
Precisamos propor uma forma para que, quando derivada duas vezes e substituída na equação original, iguale-se ao lado direito.

Passo 6

Vamos analisar cada termo do lado direito separadamente:
  1. Termo : Este termo sugere uma combinação de polinômio em , exponencial e funções trigonométricas. Precisamos propor uma solução da forma:
  1. Termo : Este é um termo trigonométrico puro. Porém, percebemos que já está presente na função complementar multiplicada por . Para evitar duplicação e garantir independência das soluções, adicionamos termos constantes:
  1. Termo : Este é um termo exponencial multiplicado por um polinômio de primeiro grau. Propondo uma solução da forma:

Passo 7

Juntando todas as partes, nossa solução particular fica:
Aqui, e são os coeficientes que precisamos determinar, mas conforme o enunciado, não precisamos calcular esses valores agora.

Resposta

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Resp:
Uma pequena roda de moagem é fixada ao eixo de um motor elétrico que tem uma velocidade angular de 3600 rpm . Quando a energia é ligada, a unidade atinge sua velocidade angular em 5 s, e quando a energia é desligada, a unidade desacelera até o repouso em 70 s. Assumindo o movimento uniformemente acelerado, determine o número de revoluções que o motor executa (a) para atingir sua velocidade angular, (b) para desacelerar até o repouso.