Determine a função complementar yc(x) e uma forma adequada para a solução particular yp(x) utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em yp(x)
y^prime prime+4 y^prime+20 y=x^2 e^-2 x sen 4 x-3 cos 4 x-x e^-2 x
Resp: lyc=e^-2 x(c1 cos 4 x+c2 sen 4 x) yp(x)=(A x^3+B x^2+C x) e^-2 x cos 4 x+(D x^3+E x^2+F x) e^-2 x sen 4 x+G cos 4 x+ +H sen 4 x+(I x+J) e^-2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar duas partes da solução de uma equação diferencial do tipo:
y'' + 4 y' + 20 y = x^2 e^-2 x sin 4x - 3 cos 4x - x e^-2 x
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a função complementar ( yc) que resolve a equação homogênea associada e uma solução particular ( yp) que resolve a equação completa. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que envolve supor uma forma para yp e ajustar os coeficientes para que a equação seja satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função complementar ( yc). Para isso, consideramos a equação homogênea:
y'' + 4 y' + 20 y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação está na forma de funções exponenciais e trigonométricas, dependendo das raízes da equação característica.

Passo 3

Vamos encontrar as raízes da equação característica associada. Escrevemos a equação característica substituindo y por e^m x:
m^2 + 4 m + 20 = 0
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
m = -4 pm raiz16 - 802 = -4 pm raiz-642 = -2 pm 4i
As raízes são complexas: m = -2 + 4i e m = -2 - 4i.

Passo 4

Com raízes complexas da forma m = alpha pm beta i, a solução geral da equação homogênea é:
yc(x) = e^alpha x ( c1 cos beta x + c2 sin beta x )
Substituindo alpha = -2 e beta = 4:
yc(x) = e^-2x ( c1 cos 4x + c2 sin 4x )
Essa é a função complementar.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular ( yp) usando o método dos coeficientes a determinar. Observamos o lado direito da equação:
x^2 e^-2x sin 4x - 3 cos 4x - x e^-2x
Precisamos propor uma forma para yp que, quando derivada duas vezes e substituída na equação original, iguale-se ao lado direito.

Passo 6

Vamos analisar cada termo do lado direito separadamente:
  1. Termo x^2 e^-2x sin 4x: Este termo sugere uma combinação de polinômio em x, exponencial e funções trigonométricas. Precisamos propor uma solução da forma:
( A x^3 + B x^2 + C x ) e^-2x cos 4x + ( D x^3 + E x^2 + F x ) e^-2x sin 4x
  1. Termo -3 cos 4x: Este é um termo trigonométrico puro. Porém, percebemos que cos 4x já está presente na função complementar multiplicada por e^-2x. Para evitar duplicação e garantir independência das soluções, adicionamos termos constantes:
G cos 4x + H sin 4x
  1. Termo -x e^-2x: Este é um termo exponencial multiplicado por um polinômio de primeiro grau. Propondo uma solução da forma:
I x e^-2x + J e^-2x

Passo 7

Juntando todas as partes, nossa solução particular fica:
yp(x) = ( A x^3 + B x^2 + C x ) e^-2x cos 4x + ( D x^3 + E x^2 + F x ) e^-2x sin 4x + G cos 4x + H sin 4x + ( I x + J ) e^-2x
Aqui, A, B, C, D, E, F, G, H, I, e J são os coeficientes que precisamos determinar, mas conforme o enunciado, não precisamos calcular esses valores agora.

Resposta

l yc(x) = e^-2x ( c1 cos 4x + c2 sin 4x ) yp(x) = ( A x^3 + B x^2 + C x ) e^-2x cos 4x + ( D x^3 + E x^2 + F x ) e^-2x sin 4x + G cos 4x + H sin 4x + ( I x + J ) e^-2x

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