Determine a função complementar e uma forma adequada para a solução particular utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem daora:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função complementar e uma forma adequada para a solução particular usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, vamos mexer com equações diferenciais lineares e entender um pouquinho sobre soluções homogêneas e não homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função complementar. Ela é a solução da equação homogênea associada, ou seja, quando temos igual a zero no lado direito:
Para resolver isso, vamos achar as raízes da equação característica. A equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos uma raiz dupla . Isso significa que a função complementar é:
Onde e são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular usando o método dos coeficientes a determinar. Olhando para o lado direito da equação, temos três partes:
Um polinômio:
Uma função exponencial multiplicada por um polinômio:
Uma função exponencial multiplicada por uma função trigonométrica:
Para cada uma dessas partes, vamos supor uma forma para :
1. Para o polinômio :
Como é um polinômio de grau 3, a solução particular será também um polinômio de grau 3:
2. Para :
Primeiro, notamos que já está presente na função complementar. Por isso, precisamos multiplicar por , onde é a multiplicidade da raiz na característica. Como temos uma multiplicidade 2 (devido à raiz dupla ), multiplicamos por :
3. Para :
Aqui, temos uma combinação de exponencial e função trigonométrica. A forma para a solução particular será: