Determine a função complementar yc(x) e uma forma adequada para a solução particular yp(x) utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em yp(x)
y^prime prime-4 y^prime+4 y=5 x^3-2-x^2 e^2 x+4 e^2 x cos x
Resp: lyc=c1 e^2 x+c2 x e^2 x yp(x)=A x^3+B x^2+C x+D+(E x^4+F x^3+G x^2) e^2 x+H e^2 x cos x+I e^2 x sen x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem daora:
y'' - 4y' + 4y = 5x^3 - 2 - x^2 e^2x + 4e^2x cos x
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função complementar e uma forma adequada para a solução particular usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, vamos mexer com equações diferenciais lineares e entender um pouquinho sobre soluções homogêneas e não homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função complementar y'' - 4y' + 4y = 0 . Ela é a solução da equação homogênea associada, ou seja, quando temos igual a zero no lado direito:
r^2 - 4r + 4 = 0
Para resolver isso, vamos achar as raízes da equação característica. A equação característica é:
r = 4 pm raiz16 - 162 = 4 pm 02 = 2
Resolvendo essa equação quadrática:
yc(x) = c1 e^2x + c2 x e^2x
Então, temos uma raiz dupla . Isso significa que a função complementar é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução particular A x^3 + B x^2 + C x + D usando o método dos coeficientes a determinar. Olhando para o lado direito da equação, temos três partes:
  1. Um polinômio: (E x^4 + F x^3 + G x^2) e^2x
  2. Uma função exponencial multiplicada por um polinômio: H e^2x cos x + I e^2x sin x
  3. Uma função exponencial multiplicada por uma função trigonométrica:
Para cada uma dessas partes, vamos supor uma forma para :
1. Para o polinômio :
Como é um polinômio de grau 3, a solução particular será também um polinômio de grau 3:
2. Para :
Primeiro, notamos que já está presente na função complementar. Por isso, precisamos multiplicar por , onde é a multiplicidade da raiz na característica. Como temos uma multiplicidade 2 (devido à raiz dupla ), multiplicamos por :
3. Para :
Aqui, temos uma combinação de exponencial e função trigonométrica. A forma para a solução particular será:

Resposta

yc = c1 e^2x + c2 x e^2x yp(x) = A x^3 + B x^2 + C x + D + (E x^4 + F x^3 + G x^2) e^2x + H e^2x cos x + I e^2x sin x

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