Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial aqui:
com as condições iniciais
e
. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, assumimos que
e substituímos na equação:
Isso nos dá a equação característica:
, que pode ser fatorada como
. As soluções são
e
.
Passo 3
Com as raízes da equação característica, a solução da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau em
, vamos tentar uma solução particular do tipo:
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Substituindo na equação diferencial:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para o termo em
:
Para o termo constante:
Então, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeiro,
:
Segundo,
. Vamos calcular a derivada de
:
Aplicando
:
E, portanto,
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
Resp:
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
. Resp:
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
Determine a função complementar
e uma forma adequada para a solução particular
utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em
Resp:
Resp: