Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
5 y^prime prime+y^prime=-6 x, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial aqui: com as condições iniciais e . Estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: 5 r^2 e^rx + r e^rx = 0 Rightarrow e^rx(5 r^2 + r) = 0 . Para isso, assumimos que e substituímos na equação:
Isso nos dá a equação característica: , que pode ser fatorada como . As soluções são e .

Passo 3

Com as raízes da equação característica, a solução da equação homogênea é:
yh = C1 + C2 e^-x/5
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp = A x^2 + B x + C ) para a equação completa yp' = 2A x + B . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau em yp'' = 2A , vamos tentar uma solução particular do tipo:
5 (2A) + (2A x + B) = -6x
Vamos calcular as derivadas necessárias:
10A + 2A x + B = -6x
2A = -6 Rightarrow A = -3
Substituindo na equação diferencial:
10A + B = 0 Rightarrow 10(-3) + B = 0 Rightarrow B = 30
yp = -3x^2 + 30x
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para o termo em :
Para o termo constante:
Então, a solução particular é:

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 + C2 e^-x/5 - 3x^2 + 30x

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes 0 = C1 + C2 e^0 - 0 + 0 Rightarrow C1 + C2 = 0 Rightarrow C1 = -C2 e y' = -15 C2 e^-x/5 - 6x + 30 .
Primeiro, 1 = -15 C2 + 30 Rightarrow -15 C2 = -29 Rightarrow C2 = 145 :
Segundo, . Vamos calcular a derivada de :
Aplicando :
E, portanto, .

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = -145 + 145 e^-x/5 - 3x^2 + 30x

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