Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial aqui: com as condições iniciais e . Estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos que e substituímos na equação:
Isso nos dá a equação característica: , que pode ser fatorada como . As soluções são e .

Passo 3

Com as raízes da equação característica, a solução da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau em , vamos tentar uma solução particular do tipo:
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Substituindo na equação diferencial:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para o termo em :
Para o termo constante:
Então, a solução particular é:

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, :
Segundo, . Vamos calcular a derivada de :
Aplicando :
E, portanto, .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
Resp:
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
. Resp:
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
Determine a função complementar e uma forma adequada para a solução particular utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em

Resp: