Uma pequena roda de moagem é fixada ao eixo de um motor elétrico que tem uma velocidade angular de 3600 rpm . Quando a energia é ligada, a unidade atinge sua velocidade angular em 5 s, e quando a energia é desligada, a unidade desacelera até o repouso em 70 s. Assumindo o movimento uniformemente acelerado, determine o número de revoluções que o motor executa (a) para atingir sua velocidade angular, (b) para desacelerar até o repouso.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cinemática angular, onde precisamos calcular o número de revoluções que um motor elétrico realiza durante a aceleração e desaceleração. Para isso, vamos precisar entender conceitos como velocidade angular, aceleração angular e como relacioná-los com o número de revoluções.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade angular de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s), pois é mais fácil trabalhar com SI.
A fórmula para converter é:
omega = rpm times 2pi60
Onde:
  • é a velocidade angular em rad/s
  • é a velocidade em rotações por minuto

Passo 3

Calculando a velocidade angular:
omega = 3600 times 2pi60 = 3600 times pi30 = 120pi , rad/s

Passo 4

Agora, vamos determinar a aceleração angular ( alpha = De) durante a aceleração. Sabemos que a aceleração angular é constante e pode ser calculada pela fórmula:
alpha = 120pi5 = 24pi , rad/s^2
Onde:
  • é a variação da velocidade angular
  • é o tempo durante o qual ocorre a variação
Durante a aceleração, a variação da velocidade é de em 5 segundos:

Passo 5

Para encontrar o número de revoluções durante a aceleração, usamos a fórmula da rotação em movimento uniformemente acelerado:
theta = omega0 t + 12 alpha t^2
Onde:
  • theta = 0 + 12 times 24pi times (5)^2 = 12pi times 25 = 300pi , rad é o ângulo total em radianos
  • é a velocidade angular inicial (0 rad/s, pois parte do repouso)
  • é o tempo
Substituindo os valores:

Passo 6

Convertendo o ângulo total em radianos para revoluções, lembrando que Revoluções = 300pi2pi = 150 , revoluções radianos equivalem a 1 revolução:
çõçõ

Passo 7

Agora, vamos calcular o número de revoluções durante a desaceleração. Primeiro, determinamos a desaceleração angular ( alpha' = De):
(O sinal negativo indica desaceleração)

Passo 8

Usamos novamente a fórmula da rotação em movimento uniformemente acelerado:
theta' = omega0 t + 12 alpha' t^2
Onde:
  • theta' = 120pi times 70 + 12 times (-12pi7) times (70)^2
Substituindo:

Passo 9

Calculando cada parte:
120pi times 70 = 8400pi
12 times (-12pi7) times 4900 = -6pi7 times 4900 = -4200pi
theta' = 8400pi - 4200pi = 4200pi , rad

Passo 10

Convertendo para revoluções:
Revoluções = 4200pi2pi = 2100 , revoluções çõçõ

Resposta

(a) O motor executa 150 revoluções ao atingir sua velocidade angular.
(b) O motor executa 2100 revoluções ao desacelerar até o repouso.

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