Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear com coeficientes constantes. O enunciado nos dá a equação e as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa, e então ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral da homogênea pode ser encontrada resolvendo a equação característica.

Passo 3

A equação característica associada é . Resolvendo para , temos:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da homogênea é:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é uma combinação linear de e , vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Agora, substituímos e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Isso nos dá o sistema de equações:
Então, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, calculamos :
Sabendo que , , , e , temos:

Passo 8

Agora, calculamos a derivada :
Aplicamos a condição inicial :
Sabendo que , , , e , temos:

Resposta

Substituindo e na solução geral, temos:

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Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
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Resp:
Determine a função complementar e uma forma adequada para a solução particular utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em

Resp:
Determine a função complementar e uma forma adequada para a solução particular utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em

Resp: