Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
y^prime prime+9 y=cos x-sen x, y(pi / 2)=y^prime(pi / 2)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear com coeficientes constantes. O enunciado nos dá a equação e as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa, e então ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral da homogênea pode ser encontrada resolvendo a equação característica.

Passo 3

A equação característica associada é r^2 = -9 Rightarrow r = pm 3i . Resolvendo para yh(x) = C1 cos(3x) + C2 sen(3x) , temos:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da homogênea é:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp(x) = A cos x + B sen x para a equação completa . Como o lado direito é uma combinação linear de e , vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de yp'(x) = -A sen x + B cos x :
Agora, substituímos yp''(x) = -A cos x - B sen x e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Isso nos dá o sistema de equações:
(-A cos x - B sen x) + 9(A cos x + B sen x) = cos x - sen x
(-A + 9A) cos x + (-B + 9B) sen x = cos x - sen x
Então, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes 0 = C1 cos(3pi2) + C2 sen(3pi2) + 18 cos(pi2) - 18 sen(pi2) e 0 = 0 + (-C2) + 0 - 18(1) Rightarrow -C2 - 18 = 0 Rightarrow C2 = -18 .
Primeiro, calculamos :
Sabendo que , , , e , temos:

Passo 8

Agora, calculamos a derivada y'(x) = -3C1 sen(3x) + 3C2 cos(3x) - 18 sen x - 18 cos x :
Aplicamos a condição inicial 0 = -3C1 sen(3pi2) + 3C2 cos(3pi2) - 18 sen(pi2) - 18 cos(pi2) :
Sabendo que , 0 = -3C1 (1) + 0 - 18(1) - 0 Rightarrow -3C1 - 18 = 0 Rightarrow C1 = -124 , , e , temos:

Resposta

Substituindo y(x) = -124 cos(3x) - 18 sen(3x) + 18 cos x - 18 sen x e na solução geral, temos:

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