Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear com coeficientes constantes. O enunciado nos dá a equação e as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa, e então ajustar as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral da homogênea pode ser encontrada resolvendo a equação característica.
Passo 3
A equação característica associada é . Resolvendo para , temos:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da homogênea é:
onde e são constantes a serem determinadas.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é uma combinação linear de e , vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde e são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de :
Agora, substituímos e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Isso nos dá o sistema de equações:
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .