Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear com coeficientes constantes. O enunciado nos dá a equação e as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa, e então ajustar as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral da homogênea pode ser encontrada resolvendo a equação característica.
Passo 3
A equação característica associada é
. Resolvendo para
, temos:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da homogênea é:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa . Como o lado direito é uma combinação linear de
e , vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Agora, substituímos
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Isso nos dá o sistema de equações:
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeiro, calculamos
:
Sabendo que
, ,
, e , temos:
Passo 8
Agora, calculamos a derivada
:
Aplicamos a condição inicial
:
Sabendo que ,
, , e
, temos:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, temos: