Uma solução da equação ddotx+p(t) dotx+q(t) x=0 é (1+t)^2, e o Wronskiano de duas soluções qualquer, desta equação, é constante. Determine a solução geral de
ddotx+p(t) dotx+q(t) x=1+t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
ddotx + p(t) dotx + q(t) x = 1 + t
O que isso significa? É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes que podem variar com o tempo ddotx + p(t) dotx + q(t) x = 0 . A gente já sabe uma solução da equação homogênea associada (quando o lado direito é zero):
E essa solução é . Além disso, o Wronskiano de duas soluções quaisquer dessa equação homogênea é constante. A gente precisa encontrar a solução geral da equação não homogênea que tem o termo no lado direito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de uma equação diferencial não homogênea é a soma da solução geral da equação homogênea com uma solução particular da equação completa.
x>=ral = xhomogênea + xparticular ê
Então, nosso primeiro objetivo é encontrar ê.

Passo 3

Já sabemos uma solução da equação homogênea: W(x1, x2) = x1 dotx2 - x2 dotx1 . Para encontrar a segunda solução , vamos usar o fato de que o Wronskiano é constante.
O Wronskiano de duas soluções e é dado por:
Como o Wronskiano é constante, podemos usar a fórmula de redução de ordem para encontrar .

Passo 4

Para usar a redução de ordem, assumimos que a segunda solução tem a forma:
x2(t) = x1(t) integral 1x1(t)^2 e^-integral p(t) dt dt
No nosso caso, dotx1(t) = ddt (1 + t)^2 = 2(1 + t) é constante, então essa integral simplifica. Vamos calcular:
Primeiro, calculamos :
Agora, usando a definição do Wronskiano constante, podemos encontrar .

Passo 5

Após realizar os cálculos da redução de ordem, encontramos que a segunda solução é:
x2(t) = (1 + t)^2 cdot t
Então, a solução geral da equação homogênea é:
xhomogênea = C1 (1 + t)^2 + C2 t (1 + t)^2 ê
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ddotx + p(t) dotx + q(t) x = 1 + t para a equação não homogênea:
xparticular = u(t) (1 + t)^2 + v(t) t (1 + t)^2
Vamos usar o método dos coeficientes a determinar (variação de parâmetros). Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde e são funções que precisamos determinar.

Passo 7

Calculando u(t) = 1(1 + t)^2 e v(t) = 0 , substituímos na equação original e resolvemos para xparticular = 1(1 + t)^2 cdot (1 + t)^2 = 1 e . Após simplificações, encontramos que:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
x>=ral = C1 (1 + t)^2 + C2 t (1 + t)^2 + 1
Onde e são constantes arbitrárias.

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