Uma solução da equação é , e o Wronskiano de duas soluções qualquer, desta equação, é constante. Determine a solução geral de

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
O que isso significa? É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes que podem variar com o tempo . A gente já sabe uma solução da equação homogênea associada (quando o lado direito é zero):
E essa solução é . Além disso, o Wronskiano de duas soluções quaisquer dessa equação homogênea é constante. A gente precisa encontrar a solução geral da equação não homogênea que tem o termo no lado direito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de uma equação diferencial não homogênea é a soma da solução geral da equação homogênea com uma solução particular da equação completa.
ê
Então, nosso primeiro objetivo é encontrar ê.

Passo 3

Já sabemos uma solução da equação homogênea: . Para encontrar a segunda solução , vamos usar o fato de que o Wronskiano é constante.
O Wronskiano de duas soluções e é dado por:
Como o Wronskiano é constante, podemos usar a fórmula de redução de ordem para encontrar .

Passo 4

Para usar a redução de ordem, assumimos que a segunda solução tem a forma:
No nosso caso, é constante, então essa integral simplifica. Vamos calcular:
Primeiro, calculamos :
Agora, usando a definição do Wronskiano constante, podemos encontrar .

Passo 5

Após realizar os cálculos da redução de ordem, encontramos que a segunda solução é:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
ê
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos usar o método dos coeficientes a determinar (variação de parâmetros). Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde e são funções que precisamos determinar.

Passo 7

Calculando e , substituímos na equação original e resolvemos para e . Após simplificações, encontramos que:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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