Uma solução da equação
é
, e o Wronskiano de duas soluções qualquer, desta equação, é constante. Determine a solução geral de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
O que isso significa? É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes que podem variar com o tempo
. A gente já sabe uma solução da equação homogênea associada (quando o lado direito é zero):
E essa solução é
. Além disso, o Wronskiano de duas soluções quaisquer dessa equação homogênea é constante. A gente precisa encontrar a solução geral da equação não homogênea que tem o termo
no lado direito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de uma equação diferencial não homogênea é a soma da solução geral da equação homogênea com uma solução particular da equação completa.
Então, nosso primeiro objetivo é encontrar
.
Passo 3
Já sabemos uma solução da equação homogênea:
. Para encontrar a segunda solução
, vamos usar o fato de que o Wronskiano
é constante.
O Wronskiano de duas soluções
e
é dado por:
Como o Wronskiano é constante, podemos usar a fórmula de redução de ordem para encontrar
.
Passo 4
Para usar a redução de ordem, assumimos que a segunda solução tem a forma:
No nosso caso,
é constante, então essa integral simplifica. Vamos calcular:
Primeiro, calculamos
:
Agora, usando a definição do Wronskiano constante, podemos encontrar
.
Passo 5
Após realizar os cálculos da redução de ordem, encontramos que a segunda solução é:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Vamos usar o método dos coeficientes a determinar (variação de parâmetros). Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são funções que precisamos determinar.
Passo 7
Calculando
e
, substituímos na equação original e resolvemos para
e
. Após simplificações, encontramos que:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.