Determine a função complementar yc(x) e uma forma adequada para a solução particular yp(x) utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em yp(x)
y^prime prime-9 y=6 x^3 e^3 x-2 e^-3 x sen 9 x
Resp: lyc=c1 e^3 x+c2 e^-3 x yp(x)=(A x^5+B x^4+C x^3+D x^2+E x) e^3 x+F e^-3 x cos 9 x+G e^-3 x sen 9 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a função complementar e uma forma apropriada para a solução particular usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar conhecer sobre equações diferenciais lineares e o método dos coeficientes a determinar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função complementar . Isso envolve resolver a equação homogênea associada, que é .

Passo 3

Para resolver a equação homogênea r^2 - 9 = 0 , encontramos a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
r^2 = 9 implies r = pm 3

Passo 5

Com as raízes yc(x) = c1 e^3x + c2 e^-3x e , a função complementar é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma forma adequada para a solução particular usando o método dos coeficientes a determinar. O lado direito da equação é , que sugere duas partes distintas a considerar.

Passo 7

Para a parte (Ax^5 + Bx^4 + Cx^3 + Dx^2 + Ex) e^3x , notamos que já aparece na função complementar. Por isso, precisamos multiplicar por até que não haja repetição. Como aparece uma vez, nossa tentativa será um polinômio de grau 5 multiplicado por :

Passo 8

Para a parte F e^-3x cos(9x) + G e^-3x sin(9x) , a solução particular será da forma:

Passo 9

Juntando ambas as partes, a solução particular yp(x) = (Ax^5 + Bx^4 + Cx^3 + Dx^2 + Ex) e^3x + F e^-3x cos(9x) + G e^-3x sin(9x) é:

Resposta

yc = c1 e^3x + c2 e^-3x yp(x) = ( A x^5 + B x^4 + C x^3 + D x^2 + E x ) e^3x + F e^-3x cos 9x + G e^-3x sin 9x

Exercícios relacionados