Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
(d) . Resp:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que ajuda a encontrar uma solução particular para a equação. Precisaremos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo do lado direito) e da solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, escrevemos a equação característica substituindo por :
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as soluções são:
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Observamos que o lado direito é um polinômio de grau 2 multiplicado por uma função exponencial .
Usamos o método dos coeficientes a determinar assumindo uma solução na forma:
Aqui, , e são coeficientes que vamos encontrar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituímos , e na equação original:
Com as expressões encontradas:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de , e constantes em ambos os lados da equação:
Para :
Para :
Substituindo :
Para as constantes:
Substituindo e :

Passo 7

Agora que temos os valores de , e , substituímos de volta na expressão de :
Podemos simplificar os coeficientes:
Multiplicando numerador e denominador para simplificar as frações:
Para combinar os termos, vamos igualar os denominadores:
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Podemos simplificar os coeficientes para combinar os termos de :

Resposta

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