Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
(d) y^prime prime+3 y^prime=-48 x^2 e^3 x. Resp: y=c1+c2 e^-3 x+(-2827+8 x3-8 x^23) e^3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
y'' + 3 y' = -48 x^2 e^3 x
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que ajuda a encontrar uma solução particular para a equação. Precisaremos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo do lado direito) e da solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 3 y' = 0
Para isso, escrevemos a equação característica substituindo r^2 + 3 r = 0 por r (r + 3) = 0 :
r1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r2 = -3
Então, as soluções são:
yh = c1 e^0 x + c2 e^-3 x
yh = c1 + c2 e^-3 x
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( y'' + 3 y' = -48 x^2 e^3 x ) para a equação completa:
yp = e^3x (A x^2 + B x + C)
Observamos que o lado direito é um polinômio de grau 2 multiplicado por uma função exponencial .
Usamos o método dos coeficientes a determinar assumindo uma solução na forma:
Aqui, , e são coeficientes que vamos encontrar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp' = e^3x (2A x + B) + 3 e^3x (A x^2 + B x + C) :
Primeira derivada:
yp' = e^3x (2A x + B + 3A x^2 + 3B x + 3C)
yp'' = e^3x (2A) + 3 e^3x (2A x + B + 3A x^2 + 3B x + 3C) + 3 e^3x (2A x + B + 3A x^2 + 3B x + 3C)
Segunda derivada:
yp'' = e^3x (2A + 6A x + 3B + 9A x^2 + 9B x + 9C) + e^3x (6A x + 3B + 9A x^2 + 9B x + 9C)
yp'' = e^3x (2A + 12A x + 6B + 18A x^2 + 18B x + 18C)

Passo 5

Substituímos yp'' + 3 yp' = -48 x^2 e^3x , e^3x (2A + 12A x + 6B + 18A x^2 + 18B x + 18C) + 3 e^3x (2A x + B + 3A x^2 + 3B x + 3C) = -48 x^2 e^3x e e^3x (2A + 12A x + 6B + 18A x^2 + 18B x + 18C + 6A x + 3B + 9A x^2 + 9B x + 9C) = -48 x^2 e^3x na equação original:
e^3x ( (18A + 9A) x^2 + (12A + 6A + 18B + 9B) x + (2A + 6B + 18C + 3B + 9C) ) = -48 x^2 e^3x
Com as expressões encontradas:
e^3x (27A x^2 + (18A + 27B) x + (2A + 9B + 27C)) = -48 x^2 e^3x
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de 27A = -48 , A = -4827 = -169 e constantes em ambos os lados da equação:
Para 18A + 27B = 0 :
18 ( -169 ) + 27B = 0
-32 + 27B = 0
Para 27B = 32 :
B = 3227
Substituindo 2A + 9B + 27C = 0 :
2 ( -169 ) + 9 ( 3227 ) + 27C = 0
-329 + 28827 + 27C = 0
-329 + 323 + 27C = 0
-32 + 969 + 27C = 0
Para as constantes:
649 + 27C = 0
Substituindo 27C = -649 e C = -64243 :

Passo 7

Agora que temos os valores de yp = e^3x ( -169 x^2 + 3227 x + -64243 ) , yp = e^3x ( -169 x^2 + 3227 x - 64243 ) e yp = e^3x ( -169 x^2 + 3227 x - 64243 ) , substituímos de volta na expressão de yp = e^3x ( -4827 x^2 + 3227 x - 64243 ) :
yp = e^3x ( -169 x^2 + 3227 x - 64243 )
Podemos simplificar os coeficientes:
yp = e^3x ( -14481 x^2 + 9681 x - 64243 )
Multiplicando numerador e denominador para simplificar as frações:
yp = e^3x ( -4827 x^2 + 3227 x - 64243 )
yp = e^3x ( -169 x^2 + 3227 x - 64243 )
Para combinar os termos, vamos igualar os denominadores:
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp
y = c1 + c2 e^-3x + e^3x ( -169 x^2 + 3227 x - 64243 )
Podemos simplificar os coeficientes para combinar os termos de y = c1 + c2 e^-3x + ( -2827 + 8 x3 - 8 x^23 ) e^3x :

Resposta

y = c1 + c2 e^-3 x + ( -2827 + 8 x3 - 8 x^23 ) e^3 x

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