Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
(d)
. Resp:
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que ajuda a encontrar uma solução particular para a equação. Precisaremos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo do lado direito) e da solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, escrevemos a equação característica substituindo
por
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as soluções são:
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Observamos que o lado direito é um polinômio de grau 2 multiplicado por uma função exponencial
.
Usamos o método dos coeficientes a determinar assumindo uma solução na forma:
Aqui,
,
e
são coeficientes que vamos encontrar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação original:
Com as expressões encontradas:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de
,
e constantes em ambos os lados da equação:
Para
:
Para
:
Substituindo
:
Para as constantes:
Substituindo
e
:
Passo 7
Agora que temos os valores de
,
e
, substituímos de volta na expressão de
:
Podemos simplificar os coeficientes:
Multiplicando numerador e denominador para simplificar as frações:
Para combinar os termos, vamos igualar os denominadores:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Podemos simplificar os coeficientes para combinar os termos de
: