O rotor de um motor elétrico tem uma massa de 25 kg , e observa-se que 4,2 min são necessários para que o rotor deslize até o repouso a partir de uma velocidade angular de 3600 rpm após ser desligado. Sabendo que o atrito cinético produz um torque de magnitude 1,2 N cdot m, determine o raio de giração centroidal para o rotor.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: temos um rotor de motor elétrico com massa de 25 kg que leva 4,2 minutos para parar depois de estar girando a 3600 rpm. Sabemos também que o atrito causa um torque de 1,2 N·m. Nosso objetivo aqui é encontrar o raio de giração centroidal do rotor. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional, como torque, momento de inércia e velocidade angular.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade angular de rpm (rotações por minuto) para radianos por segundo, já que a maioria das fórmulas de física usa rad/s. Sabemos que:
omega0 = 3600 , rpm times 2pi , rad60 , s = 120pi , rad/s

Passo 3

Agora, precisamos converter o tempo de parada de minutos para segundos para manter as unidades consistentes:
t = 4,2 , min times 60 , s/min = 252 , s

Passo 4

Sabemos que o torque tau = I alpha está relacionado ao momento de inércia alpha = De e à aceleração angular tau = I (-omega0t) Rightarrow I = -tau tomega0 pela fórmula:
I = tau tomega0
Como o rotor está desacelerando até parar, a aceleração angular é negativa. Podemos reescrever a equação para encontrar :
Substituindo na equação do torque:
Como o momento de inércia é sempre positivo, descartamos o sinal negativo:

Passo 5

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação para encontrar I = 1,2 , N·m times 252 , s120pi , rad/s = 302,4120pi approx 302,4376,99 approx 0,802 , kg·m^2 :

Passo 6

Sabemos que o momento de inércia também pode ser expresso em termos do raio de giração I = m k^2 e da massa k = raizIm = raiz0,80225 approx raiz0,03208 approx 0,179 , m :
Rearranjando para encontrar :

Resposta

O raio de giração centroidal para o rotor é aproximadamente 0,179 metros.

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