Determine a função composta f(x, y) = g(h(x, y)) e o conjunto no qual f é contínua.
g(z) = z + ln(z), h(x, y) = (1 - x * y) / (1 + x^2 * y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função composta e descobrir em qual conjunto ela é contínua. Vamos usar conceitos de composição de funções e continuidade. Para isso, vamos precisar substituir uma função dentro da outra e verificar onde essa composição não apresenta “quebras” ou “saltos”.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função composta. A função é formada substituindo a função na função . Então, nossa missão é pegar a expressão de e colocar dentro de .

Passo 3

Vamos ver o que temos:
Essa é a nossa função . Ela depende de duas variáveis, e .

Passo 4

Agora, a função é dada por:
Para compor , substituímos em :
Então ficou:

Passo 5

Agora, vamos descobrir onde essa função é contínua. Para isso, precisamos que todas as partes da função estejam bem definidas e sem “quebras”. Observando a expressão de :
  1. O denominador nunca é zero porque é sempre não negativo, então .
  2. O logaritmo natural só está definido para . Então, a parte dentro do logaritmo, que é , precisa ser maior que zero.

Passo 6

Para garantir que , precisamos que o numerador seja positivo, já que o denominador é sempre positivo. Então:
Assim, a função será contínua quando .

Resposta

A função composta é
e ela é contínua para todos os pares onde .

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe exibindo caminhos que levam a limites diferentes ou para os quais o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x yx-y
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lim (x, y) (3,1) e^-x y sen(pi y2)
Seja f(x, y) = { 0 se y <= 0 ou y >= x^2; 1 se 0 < y < x^2 }
Apesar disso, mostre que f é descontínua em (0,0).
Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
(y ln |y| - e^(-x y)) dx + (1/y + x ln |y|) dy = 0