Determine a função composta
e o conjunto no qual
é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função composta
e descobrir em qual conjunto ela é contínua. Vamos usar conceitos de composição de funções e continuidade. Para isso, vamos precisar substituir uma função dentro da outra e verificar onde essa composição não apresenta “quebras” ou “saltos”.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função composta. A função
é formada substituindo a função
na função
. Então, nossa missão é pegar a expressão de
e colocar dentro de
.
Passo 3
Vamos ver o que temos:
Essa é a nossa função
. Ela depende de duas variáveis,
e
.
Passo 4
Agora, a função
é dada por:
Para compor
, substituímos
em
:
Então ficou:
Passo 5
Agora, vamos descobrir onde essa função
é contínua. Para isso, precisamos que todas as partes da função estejam bem definidas e sem “quebras”. Observando a expressão de
:
- O denominador
nunca é zero porque é sempre não negativo, então . - O logaritmo natural
só está definido para . Então, a parte dentro do logaritmo, que é , precisa ser maior que zero.
Passo 6
Para garantir que
, precisamos que o numerador
seja positivo, já que o denominador é sempre positivo. Então:
Assim, a função
será contínua quando
.
Resposta
A função composta é
e ela é contínua para todos os pares
onde
.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe exibindo caminhos que levam a limites diferentes ou para os quais o limite não existe.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe exibindo caminhos que levam a limites diferentes ou para os quais o limite não existe.
Seja
Apesar disso, mostre que é descontínua em
.
Apesar disso, mostre que
Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.