Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
(y ln |y| - e^(-x y)) dx + (1/y + x ln |y|) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma equação diferencial dada é exata e, se for, resolver ela. Estamos lidando com equações diferenciais exatas, que fazem parte do estudo de cálculos diferenciais e integrais. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas parciais e verificar se elas satisfazem a condição de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e na equação. Temos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se elas são iguais. Ou seja, vamos calcular e .

Passo 4

Calculando :
Derivando termo a termo:
Então:

Passo 5

Calculando :
Derivando termo a termo:
Então:

Passo 6

Agora comparamos e :
Claramente, , então a equação não é exata.

Resposta

A equação dada não é exata.

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