Seja f(x, y) = { 0 se y <= 0 ou y >= x^2; 1 se 0 < y < x^2 }
Apesar disso, mostre que f é descontínua em (0,0).

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma função que depende de e . Ela é definida de duas maneiras:
  • se ou
  • se
O objetivo aqui é mostrar que é descontínua no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade em várias variáveis e analisar os limites da função conforme nos aproximamos desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Em termos simples, uma função é contínua em se o limite da função quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Se isso não acontecer, a função é descontínua nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular . Para determinar esse limite, podemos nos aproximar de por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos os casos.

Passo 4

Vamos considerar o caminho onde , onde é uma constante. Substituindo na função:
  • Se ou , então
  • Se , então
Isso mostra que o limite depende do valor de , ou seja, depende do caminho que escolhemos para nos aproximar de .

Passo 5

Como o limite depende do caminho, isso significa que o limite geral não existe, pois valores diferentes são obtidos dependendo do caminho escolhido.

Passo 6

Sabemos que para a função ser contínua em , esse limite deve existir e ser igual a . Vamos verificar :
á
Como não existe, ou seja, pode ser 0 ou 1 dependendo do caminho, não é igual a .

Resposta

Assim, é descontínua em .

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