Seja f(x, y) = { 0 se y <= 0 ou y >= x^2; 1 se 0 < y < x^2 }
Apesar disso, mostre que f é descontínua em (0,0).

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma função que depende de e . Ela é definida de duas maneiras:
  • se ou
  • se
O objetivo aqui é mostrar que é descontínua no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade em várias variáveis e analisar os limites da função conforme nos aproximamos desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Em termos simples, uma função é contínua em se o limite da função quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Se isso não acontecer, a função é descontínua nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular . Para determinar esse limite, podemos nos aproximar de por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos os casos.

Passo 4

Vamos considerar o caminho onde , onde é uma constante. Substituindo na função:
  • Se ou , então
  • Se , então
Isso mostra que o limite depende do valor de , ou seja, depende do caminho que escolhemos para nos aproximar de .

Passo 5

Como o limite depende do caminho, isso significa que o limite geral não existe, pois valores diferentes são obtidos dependendo do caminho escolhido.

Passo 6

Sabemos que para a função ser contínua em , esse limite deve existir e ser igual a . Vamos verificar :
á
Como não existe, ou seja, pode ser 0 ou 1 dependendo do caminho, não é igual a .

Resposta

Assim, é descontínua em .

Exercícios relacionados

Determine a função composta f(x, y) = g(h(x, y)) e o conjunto no qual f é contínua.
g(z) = z + ln(z), h(x, y) = (1 - x * y) / (1 + x^2 * y^2)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe exibindo caminhos que levam a limites diferentes ou para os quais o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x yx-y
Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
(y ln |y| - e^(-x y)) dx + (1/y + x ln |y|) dy = 0
Encontre a solução geral das equações diferenciais ordinárias de 1^aa ordem.
dy/dt + 2/t y = t