Seja
Apesar disso, mostre que
é descontínua em
.
Apesar disso, mostre que
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos uma função
que depende de
e
. Ela é definida de duas maneiras:
-
se ou -
se
O objetivo aqui é mostrar que
é descontínua no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade em várias variáveis e analisar os limites da função conforme nos aproximamos desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Em termos simples, uma função é contínua em
se o limite da função quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Se isso não acontecer, a função é descontínua nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular
. Para determinar esse limite, podemos nos aproximar de
por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos os casos.
Passo 4
Vamos considerar o caminho onde
, onde
é uma constante. Substituindo na função:
- Se
ou , então - Se
, então
Isso mostra que o limite depende do valor de
, ou seja, depende do caminho que escolhemos para nos aproximar de
.
Passo 5
Como o limite depende do caminho, isso significa que o limite geral
não existe, pois valores diferentes são obtidos dependendo do caminho escolhido.
Passo 6
Sabemos que para a função ser contínua em
, esse limite deve existir e ser igual a
. Vamos verificar
:
Como
não existe, ou seja, pode ser 0 ou 1 dependendo do caminho, não é igual a
.
Resposta
Assim,
é descontínua em
.
Exercícios relacionados
Determine a função composta
e o conjunto no qual
é contínua.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe exibindo caminhos que levam a limites diferentes ou para os quais o limite não existe.
Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
Encontre a solução geral das equações diferenciais ordinárias de
ordem.