Determine para quais valores de a a função f é contínua
f(x, y) = { (sen(a + x) / x)^2, x < 1 1, x <= 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir para quais valores de a função é contínua. A função está definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções, especialmente observando o comportamento da função quando se aproxima de 1. Vamos precisar entender o limite da função e como ele se comporta em relação ao valor da função em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função nesse ponto for igual ao valor da função no ponto. Ou seja, precisamos verificar se:
No nosso caso, , conforme definido.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda, já que a definição da função muda em . A parte da função para é:
Então, o limite que precisamos encontrar é:

Passo 4

Vamos simplificar o limite. Primeiro, calculamos o limite dentro do quadrado:
Então, elevando ao quadrado:

Passo 5

Para que a função seja contínua em , esse limite deve ser igual ao valor da função em , que é 1:

Passo 6

Vamos resolver a equação:
Sabemos que o seno é igual a 1 ou -1 em certos ângulos. Então:

Passo 7

Isolando :

Resposta

A função é contínua para todos os valores de da forma:

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