Determine para quais valores de a função é contínua
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir para quais valores de a função é contínua. A função está definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções, especialmente observando o comportamento da função quando se aproxima de 1. Vamos precisar entender o limite da função e como ele se comporta em relação ao valor da função em .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função nesse ponto for igual ao valor da função no ponto. Ou seja, precisamos verificar se:
No nosso caso, , conforme definido.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda, já que a definição da função muda em . A parte da função para é:
Então, o limite que precisamos encontrar é:
Passo 4
Vamos simplificar o limite. Primeiro, calculamos o limite dentro do quadrado:
Então, elevando ao quadrado:
Passo 5
Para que a função seja contínua em , esse limite deve ser igual ao valor da função em , que é 1:
Passo 6
Vamos resolver a equação:
Sabemos que o seno é igual a 1 ou -1 em certos ângulos. Então:
Passo 7
Isolando :
Resposta
A função é contínua para todos os valores de da forma: