Determine se a função
é contínua no número
dado. Calcule
e
, se existirem, e determine se
é derivável em
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
é contínua no ponto
. Além disso, precisamos calcular as derivadas laterais
e
, caso existam, e determinar se a função é derivável nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade e derivadas laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função
em
. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto for igual ao valor da função no próprio ponto.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2:
Passo 4
Analisando o limite, percebemos que quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
),
é negativo e se aproxima de 0, então
tende a
. Já quando
se aproxima de 2 pela direita (
),
é positivo e se aproxima de 0, então
tende a
.
Passo 5
Como os limites laterais
e
não são iguais e, na verdade, não são finitos, concluímos que o limite geral
não existe.
Passo 6
Como o limite de
quando
se aproxima de 2 não existe, a função
não está definida em
e, portanto, não é contínua nesse ponto.
Passo 7
Agora, vamos calcular as derivadas laterais
e
. A derivada de
é
.
Passo 8
Para
:
Para
:
Passo 9
Ambos os limites das derivadas laterais tendem a
, o que significa que as derivadas laterais não existem de forma finita em
.
Passo 10
Como a função não é contínua em
e as derivadas laterais não existem de forma finita, concluímos que a função
não é derivável em
.
Resposta
A função
não é contínua em
, as derivadas laterais
e
não existem de forma finita, e, portanto,
não é derivável em
.