Determine se a função f é contínua no número a dado. Calcule f_'(a) e f+’(a), se existirem, e determine se f é derivável em a.
a = 2 ; f(x) = 1/(x - 2)

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função é contínua no ponto . Além disso, precisamos calcular as derivadas laterais e , caso existam, e determinar se a função é derivável nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade e derivadas laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função no próprio ponto.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2:

Passo 4

Analisando o limite, percebemos que quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ), é negativo e se aproxima de 0, então tende a . Já quando se aproxima de 2 pela direita ( ), é positivo e se aproxima de 0, então tende a .

Passo 5

Como os limites laterais e não são iguais e, na verdade, não são finitos, concluímos que o limite geral não existe.

Passo 6

Como o limite de quando se aproxima de 2 não existe, a função não está definida em e, portanto, não é contínua nesse ponto.

Passo 7

Agora, vamos calcular as derivadas laterais e . A derivada de é .

Passo 8

Para :
Para :

Passo 9

Ambos os limites das derivadas laterais tendem a , o que significa que as derivadas laterais não existem de forma finita em .

Passo 10

Como a função não é contínua em e as derivadas laterais não existem de forma finita, concluímos que a função não é derivável em .

Resposta

A função não é contínua em , as derivadas laterais e não existem de forma finita, e, portanto, não é derivável em .

Exercícios relacionados