Encontre a derivada da função dada.
(e) g(x) = (sec(2x)^3)/3 - sec(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para encontrar a derivada da função . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções compostas e o uso da regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como derivar a função secante e aplicar a regra da potência e da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a derivada da função secante é dada por:
Aqui, é uma função de . No nosso caso, temos , então .

Passo 3

Vamos derivar a primeira parte da função, . Usaremos a regra da potência combinada com a regra da cadeia.
Primeiro, considere . A derivada disso é:
Simplificando:
Agora, como a expressão original tinha uma divisão por 3:

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda parte da função, . Usando a derivada da secante:

Passo 5

Finalmente, vamos juntar as derivadas das duas partes:
Podemos fatorar :
E lembrando que :

Resposta

A derivada da função é:

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