Sejam
e
a função dada por
Analise cada uma das afirmações abaixo, diga se são verdadeiras ou falsas e justifique:
a)
é injetiva
b)
é sobrejetiva.
c)
, para todo
.
d)
, para todo
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função
, onde
. A função é dada por
. A gente precisa analisar se cada uma das afirmações sobre essa função é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de injetividade, sobrejetividade e propriedades das funções. Vamos resolver passo a passo cada item!
Passo 2
a)
é injetiva
Primeiro, o que significa uma função ser injetiva? Basicamente, uma função é injetiva se cada elemento do conjunto de chegada é imagem de, no máximo, um elemento do domínio. Em outras palavras, se
então necessariamente
.
Vamos verificar isso para nossa função
.
Suponha que
:
Multiplicando cruzado:
Distribuindo:
Simplificando ambos os lados:
Cancelando os termos iguais:
Leva a:
Como chegamos a
, isso mostra que a função é injetiva.
Passo 3
b)
é sobrejetiva
Agora, vamos ver se
é sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se cada elemento do conjunto de chegada é imagem de pelo menos um elemento do domínio.
Queremos ver se, para todo
, existe um
tal que
.
Usando a função
, vamos resolver para
:
Para que
esteja em
,
não pode ser 1 (porque
está no denominador e
não está no domínio
). Porém, no conjunto de chegada
, o 1 já está excluído. Assim, para todo
, existe
que satisfaz
, então a função é sobrejetiva.
Passo 4
c)
, para todo
Vamos verificar se essa igualdade é válida. Primeiro, calculemos
:
Então, somando
:
Mas espere! Note que
. Então, realmente, a soma dá zero:
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
d)
, para todo
Vamos calcular
:
Agora, multiplicando
por
:
Então, a multiplicação é igual a 1 para todo
. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Verdadeira
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