Sejam e a função dada por
Analise cada uma das afirmações abaixo, diga se são verdadeiras ou falsas e justifique:
a) é injetiva
b) é sobrejetiva.
c) , para todo .
d) , para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função , onde . A função é dada por . A gente precisa analisar se cada uma das afirmações sobre essa função é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de injetividade, sobrejetividade e propriedades das funções. Vamos resolver passo a passo cada item!

Passo 2

a) é injetiva
Primeiro, o que significa uma função ser injetiva? Basicamente, uma função é injetiva se cada elemento do conjunto de chegada é imagem de, no máximo, um elemento do domínio. Em outras palavras, se então necessariamente .
Vamos verificar isso para nossa função .
Suponha que :
Multiplicando cruzado:
Distribuindo:
Simplificando ambos os lados:
Cancelando os termos iguais:
Leva a:
Como chegamos a , isso mostra que a função é injetiva.

Passo 3

b) é sobrejetiva
Agora, vamos ver se é sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se cada elemento do conjunto de chegada é imagem de pelo menos um elemento do domínio.
Queremos ver se, para todo , existe um tal que .
Usando a função , vamos resolver para :
Para que esteja em , não pode ser 1 (porque está no denominador e não está no domínio ). Porém, no conjunto de chegada , o 1 já está excluído. Assim, para todo , existe que satisfaz , então a função é sobrejetiva.

Passo 4

c) , para todo
Vamos verificar se essa igualdade é válida. Primeiro, calculemos :
Então, somando :
Mas espere! Note que . Então, realmente, a soma dá zero:
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

d) , para todo
Vamos calcular :
Agora, multiplicando por :
Então, a multiplicação é igual a 1 para todo . Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Verdadeira

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