Dizemos que uma função
, onde
é par, se, e só se,
. Mostre que toda função
, satisfazendo
em todo seu domínio, é par.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que satisfaz a propriedade
para todos os
no domínio dela. Queremos mostrar que essa função é par, ou seja, que
para todo
no domínio. Para isso, vamos usar as propriedades de funções e manipular a equação dada.
Passo 2
Vamos começar substituindo
por
na equação
. Assim, temos:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade de que
.
Passo 3
Queremos mostrar que
. Da equação anterior, temos:
Para que isso seja igual a
, precisamos que
.
Passo 4
Vamos verificar se
. Vamos usar a propriedade
com
e
:
Isso dá:
Mas também sabemos que se substituirmos
na equação original:
Simplificando:
Para que isso seja verdade para todo
, devemos ter
.
Passo 5
Como
e da equação
, temos:
Dividindo ambos os lados por 2:
Portanto, voltando à equação
:
Resposta
Assim, mostramos que
para todo
no domínio. Portanto, a função
é par.
Exercícios relacionados
Determine se cada uma das funções abaixo é par, ímpar ou nenhuma das opções.
(f)
(f)
Encontre a derivada indicada.
(e)
(e)
Encontre a derivada da função dada.
(e)
(e)