Dizemos que uma função f: A -> B, onde A, B ⊆ R é par, se, e só se, f(x) = f(-x), para todo x em A. Mostre que toda função f: R \ {0} -> R, satisfazendo f(x y) = f(x) + f(y) em todo seu domínio, é par.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que satisfaz a propriedade para todos os no domínio dela. Queremos mostrar que essa função é par, ou seja, que para todo no domínio. Para isso, vamos usar as propriedades de funções e manipular a equação dada.

Passo 2

Vamos começar substituindo por na equação . Assim, temos:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade de que .

Passo 3

Queremos mostrar que . Da equação anterior, temos:
Para que isso seja igual a , precisamos que .

Passo 4

Vamos verificar se . Vamos usar a propriedade com e :
Isso dá:
Mas também sabemos que se substituirmos na equação original:
Simplificando:
Para que isso seja verdade para todo , devemos ter .

Passo 5

Como e da equação , temos:
Dividindo ambos os lados por 2:
Portanto, voltando à equação :

Resposta

Assim, mostramos que para todo no domínio. Portanto, a função é par.

Exercícios relacionados