Determine se a função é contínua no número dado. Calcule e , se existirem, e determine se é derivável em .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo a continuidade e derivabilidade de uma função em um ponto específico. A função dada é:
O objetivo é verificar se é contínua em , calcular a derivada pela esquerda e pela direita , e determinar se é derivável em .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, precisamos calcular o limite pela esquerda ( ) e pela direita ( ) e comparar com o valor da função em .

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda ( ):
Aqui usamos a definição de limite lateral e substituímos por na expressão aplicável para .

Passo 4

Calculando o limite pela direita ( ):
Novamente, utilizamos o limite lateral e substituímos por na expressão apropriada para .

Passo 5

Agora, verificamos o valor da função em :
Isso porque para , usamos a segunda parte da função definida para .

Passo 6

Para que seja contínua em , os limites laterais devem ser iguais e também iguais ao valor da função em . Aqui, temos:
Como os limites laterais não são iguais ( ), a função não é contínua em .

Passo 7

Mesmo já sabendo que a função não é contínua em , vamos calcular as derivadas laterais para praticar. A derivada pela esquerda é:
Para , usamos :
Esse limite não existe porque tende a quando .

Passo 8

Agora, a derivada pela direita:
Para , usamos :
Aqui, o limite existe e vale 2.

Resposta

A função não é contínua em , as derivadas laterais não existem e . Portanto, não é derivável em .

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©