Determine se a função
é contínua no número
dado. Calcule
e
, se existirem, e determine se
é derivável em
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo a continuidade e derivabilidade de uma função em um ponto específico. A função dada é:
O objetivo é verificar se
é contínua em
, calcular a derivada pela esquerda
e pela direita
, e determinar se
é derivável em
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua em
. Para isso, precisamos calcular o limite pela esquerda (
) e pela direita (
) e comparar com o valor da função em
.
Passo 3
Calculando o limite pela esquerda (
):
Aqui usamos a definição de limite lateral e substituímos
por
na expressão aplicável para
.
Passo 4
Calculando o limite pela direita (
):
Novamente, utilizamos o limite lateral e substituímos
por
na expressão apropriada para
.
Passo 5
Agora, verificamos o valor da função em
:
Isso porque para
, usamos a segunda parte da função definida para
.
Passo 6
Para que
seja contínua em
, os limites laterais devem ser iguais e também iguais ao valor da função em
. Aqui, temos:
Como os limites laterais não são iguais (
), a função
não é contínua em
.
Passo 7
Mesmo já sabendo que a função não é contínua em
, vamos calcular as derivadas laterais para praticar. A derivada pela esquerda é:
Para
, usamos
:
Esse limite não existe porque
tende a
quando
.
Passo 8
Agora, a derivada pela direita:
Para
, usamos
:
Aqui, o limite existe e vale 2.
Resposta
A função
não é contínua em
, as derivadas laterais
não existem e
. Portanto,
não é derivável em
.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada indicada.
(h)
(h)
Encontre a derivada indicada.
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©
Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas se forem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equações.
Encontre a derivada da função dada.
©
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