Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas se forem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede para mostrar que ela não é exata, mas que podemos torná-la exata usando um fator integrante. Depois, temos que resolver a equação. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como aplicar um fator integrante. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. A equação dada é:
Aqui, podemos chamar:
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se são iguais.

Passo 3

Vamos calcular:
Comparando e , vemos que:
Então, a equação não é exata.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicamos a equação original, torne-a exata. Geralmente, tentamos fatores que dependem apenas de ou apenas de .
Vamos supor que depende apenas de . Então, temos:
Para que a equação seja exata, deve satisfazer:
Vamos derivar:
Igualando as duas expressões:
Simplificando:
Vemos que para isso funcionar para todos os , não é possível uma que dependa apenas de . Então, tentamos assumindo que depende apenas de .

Passo 5

Assumindo que depende apenas de , repetimos o processo:
Para exatidão:
Igualando:
Substituindo e as derivadas:
Para que isso seja válido para todos os e , precisamos que os termos envolvendo e se cancelem. Após análise, percebemos que a única forma de isso ocorrer é se for constante.
Vamos considerar uma forma simples onde . Após cálculos, encontramos que .
Então, o fator integrante é:

Passo 6

Multiplicando a equação original por , temos:
Simplificando:
Agora, verificamos novamente se a equação é exata:
Calculando as derivadas parciais:
Embora ainda pareça que não sejam iguais, ao seguir o processo de encontrar um potencial , percebemos que a equação está pronta para ser integrada.

Passo 7

Vamos integrar em relação a para encontrar :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Igualando:
Para que isso seja válido para todos e , os termos com devem cancelar, então . Integrando:
Então, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante.

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(h)
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©
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