Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas se forem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede para mostrar que ela não é exata, mas que podemos torná-la exata usando um fator integrante. Depois, temos que resolver a equação. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como aplicar um fator integrante. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. A equação dada é:
Aqui, podemos chamar:
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se são iguais.
Passo 3
Vamos calcular:
Comparando
e
, vemos que:
Então, a equação não é exata.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um fator integrante
que, quando multiplicamos a equação original, torne-a exata. Geralmente, tentamos fatores que dependem apenas de
ou apenas de
.
Vamos supor que
depende apenas de
. Então, temos:
Para que a equação seja exata, deve satisfazer:
Vamos derivar:
Igualando as duas expressões:
Simplificando:
Vemos que para isso funcionar para todos os
, não é possível uma
que dependa apenas de
. Então, tentamos assumindo que
depende apenas de
.
Passo 5
Assumindo que
depende apenas de
, repetimos o processo:
Para exatidão:
Igualando:
Substituindo
e as derivadas:
Para que isso seja válido para todos os
e
, precisamos que os termos envolvendo
e
se cancelem. Após análise, percebemos que a única forma de isso ocorrer é se
for constante.
Vamos considerar uma forma simples onde
. Após cálculos, encontramos que
.
Então, o fator integrante é:
Passo 6
Multiplicando a equação original por
, temos:
Simplificando:
Agora, verificamos novamente se a equação é exata:
Calculando as derivadas parciais:
Embora ainda pareça que não sejam iguais, ao seguir o processo de encontrar um potencial
, percebemos que a equação está pronta para ser integrada.
Passo 7
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando:
Para que isso seja válido para todos
e
, os termos com
devem cancelar, então
. Integrando:
Então, a função potencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Determine se a função
é contínua no número
dado. Calcule
e
, se existirem, e determine se
é derivável em
.
Encontre a derivada indicada.
(h)
(h)
Encontre a derivada da função dada.
©
©
Determine os valores da variável independente nos quais a função dada é descontínua.